Математическое ожидание x y. Примеры решения задач. Высшие моменты суммы случайных величин

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Математическое ожидание и дисперсия - bezbotvy

✪ Теория вероятностей 15: Математическое ожидание

✪ Математическое ожидание

✪ Математическое ожидание и дисперсия. Теория

✪ Математическое ожидание в трейдинге

Субтитры

Определение

Пусть задано вероятностное пространство (Ω , A , P) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P})} и определённая на нём случайная величина X {\displaystyle X} . То есть, по определению, X: Ω → R {\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} } - измеримая функция . Если существует интеграл Лебега от X {\displaystyle X} по пространству Ω {\displaystyle \Omega } , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается M [ X ] {\displaystyle M[X]} или E [ X ] {\displaystyle \mathbb {E} [X]} .

M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) . {\displaystyle M[X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega)\,\mathbb {P} (d\omega).}

Основные формулы для математического ожидания

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R {\displaystyle M[X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x\,dF_{X}(x);x\in \mathbb {R} } .

Математическое ожидание дискретного распределения

P (X = x i) = p i , ∑ i = 1 ∞ p i = 1 {\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=1} ,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

M [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i {\displaystyle M[X]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}} .

Математическое ожидание целочисленной величины

P (X = j) = p j , j = 0 , 1 , . . . ; ∑ j = 0 ∞ p j = 1 {\displaystyle \mathbb {P} (X=j)=p_{j},\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _{j=0}^{\infty }p_{j}=1}

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности { p i } {\displaystyle \{p_{i}\}}

P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k {\displaystyle P(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;p_{k}s^{k}}

как значение первой производной в единице: M [ X ] = P ′ (1) {\displaystyle M[X]=P"(1)} . Если математическое ожидание X {\displaystyle X} бесконечно, то lim s → 1 P ′ (s) = ∞ {\displaystyle \lim _{s\to 1}P"(s)=\infty } и мы будем писать P ′ (1) = M [ X ] = ∞ {\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty }

Теперь возьмём производящую функцию Q (s) {\displaystyle Q(s)} последовательности «хвостов» распределения { q k } {\displaystyle \{q_{k}\}}

q k = P (X > k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j ; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k . {\displaystyle q_{k}=\mathbb {P} (X>k)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{p_{j}};\quad Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;q_{k}s^{k}.}

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией P (s) {\displaystyle P(s)} свойством: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s {\displaystyle Q(s)={\frac {1-P(s)}{1-s}}} при | s | < 1 {\displaystyle |s|<1} . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

M [ X ] = P ′ (1) = Q (1) {\displaystyle M[X]=P"(1)=Q(1)}

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f X (x) d x {\displaystyle M[X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx} .

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n {\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})^{\top }\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}} - случайный вектор. Тогда по определению

M [ X ] = (M [ X 1 ] , … , M [ X n ]) ⊤ {\displaystyle M[X]=(M,\dots ,M)^{\top }} ,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть g: R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } - борелевская функция , такая что случайная величина Y = g (X) {\displaystyle Y=g(X)} имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (x i) p i {\displaystyle M\left=\sum \limits _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p_{i}} ,

если X {\displaystyle X} имеет дискретное распределение;

M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) d x {\displaystyle M\left=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)f_{X}(x)\,dx} ,

если X {\displaystyle X} имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение P X {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}} случайной величины X {\displaystyle X} общего вида, то

M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) P X (d x) {\displaystyle M\left=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx)} .

В специальном случае, когда g (X) = X k {\displaystyle g(X)=X^{k}} , Математическое ожидание M [ g (X) ] = M [ X k ] {\displaystyle M\left=M} называется k {\displaystyle k} -тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

• Математическое ожидание числа есть само число.

M [ a ] = a {\displaystyle M[a]=a} a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } - константа;

• Математическое ожидание линейно, то есть

M [ a X + b Y ] = a M [ X ] + b M [ Y ] {\displaystyle M=aM[X]+bM[Y]} , где X , Y {\displaystyle X,Y} - случайные величины с конечным математическим ожиданием, а a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } - произвольные константы; 0 ⩽ M [ X ] ⩽ M [ Y ] {\displaystyle 0\leqslant M[X]\leqslant M[Y]} ; M [ X ] = M [ Y ] {\displaystyle M[X]=M[Y]} . M [ X Y ] = M [ X ] M [ Y ] {\displaystyle M=M[X]M[Y]} . Математическое ожидание

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .

Задана плотность распределения f(x):

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

Случайную величину X называют непрерывной , если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.
2. Условие нормировки:

Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле

Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:

Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть }