Formula za dužinu većeg luka kružnice. Pronalaženje obima i površine kruga

Video kurs “Osvoji A” obuhvata sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Obim naziva se zatvorena, ravna kriva, čije se sve tačke, koje leže u istoj ravni, nalaze na istoj udaljenosti od centra.

Dot O je centar kruga, R je polumjer kružnice - udaljenost od bilo koje tačke na kružnici do centra. Po definiciji, svi radijusi zatvorenog

pirinač. 1

krive imaju istu dužinu.

Udaljenost između dvije tačke na kružnici naziva se tetiva. Segment kružnice koji prolazi kroz njegovo središte i povezuje dvije njegove tačke naziva se prečnik. Sredina prečnika je centar kruga. Tačke na kružnici dijele zatvorenu krivu na dva dijela, svaki dio se naziva kružni luk. Ako krajevi luka pripadaju promjeru, tada se takav krug naziva polukrug, čija se dužina obično označava π . Mera stepena dva kruga koji imaju zajedničke krajeve je 360 ​​stepeni.

Koncentrični krugovi su kružnice koje imaju zajedničko središte. Ortogonalne kružnice su kružnice koje se seku pod uglom od 90 stepeni.

Ravan zatvorena kružnicom naziva se kružnica. Jedan dio kružnice, koji je ograničen sa dva polumjera i lukom, je kružni sektor. Sektorski luk je luk koji ograničava sektor.

Rice. 2

Relativni položaj kružnice i prave linije (slika 2).

Krug i prava linija imaju dvije zajedničke točke ako je udaljenost od prave do središta kruga manja od polumjera kružnice. U ovom slučaju, prava linija u odnosu na kružnicu naziva se sekansa.

Krug i prava linija imaju jednu zajedničku tačku ako je rastojanje od prave do središta kruga jednako poluprečniku kružnice. U ovom slučaju, prava u odnosu na kružnicu naziva se tangenta na kružnicu. Njihova zajednička tačka naziva se tačka dodira kružnice i prave.

Osnovne formule kruga:

• C = 2πR , Gdje C - obim
• R = S/(2π) = D/2 , Gdje S/(2π) — dužina luka kružnice
• D = C/π = 2R , Gdje D - prečnik
• S = πR2 , Gdje S - površina kruga
• S = ((πR2)/360)α , Gdje S — područje kružnog sektora

Obim i krug dobili su ime u staroj Grčkoj. Već u antičko doba ljudi su bili zainteresirani za okrugla tijela, pa je krug postao kruna savršenstva. Činjenica da se okruglo tijelo moglo kretati samostalno bila je poticaj za pronalazak točka. Čini se, šta je posebno u ovom izumu? Ali zamislite da u trenu točkovi nestanu iz naših života. Ovaj izum je kasnije doveo do matematičkog koncepta kruga.

Deo figure koji formira krug čije su tačke jednako udaljene naziva se luk. Ako povučemo zrake od središnje tačke kruga do tačaka koje se poklapaju sa krajevima luka, formiraće se njegov centralni ugao.

Određivanje dužine luka

Proizvedeno prema sljedećoj formuli:

gdje je L željena dužina luka, π = 3,14, r je polumjer kružnice, α je centralni ugao.

Dužina luka kružnice je 14,82 centimetra.

U elementarnoj geometriji, luk se shvata kao podskup kruga koji se nalazi između dve tačke koje se nalaze na njemu. U praksi rješavajte probleme u definicija ona dužina inženjeri i arhitekte to moraju činiti prilično često, jer je ovaj geometrijski element široko rasprostranjen u širokom spektru dizajna.

Možda su se prvi suočili s ovim zadatkom antički arhitekti, koji su na ovaj ili onaj način morali odrediti ovaj parametar za izgradnju svodova, koji se široko koristio za pokrivanje praznina između nosača u okruglim, poligonalnim ili eliptičnim zgradama. Ako pomno pogledate remek-djela starogrčke, starorimske i posebno arapske arhitekture koja su preživjela do danas, primijetit ćete da su lukovi i svodovi izuzetno česti u njihovom dizajnu. Kreacije modernih arhitekata nisu njima toliko bogate, ali su ti geometrijski elementi, naravno, prisutni u njima.

Dužina razne arc moraju biti proračunati prilikom izgradnje puteva i željeznica, kao i motornih kolosijeka, a u mnogim slučajevima sigurnost saobraćaja umnogome zavisi od ispravnosti i tačnosti proračuna. Činjenica je da su mnogi zavoji autoputa, sa geometrijske tačke gledišta, upravo lukovi, a dok se kreću po njima, na vozila djeluju različite fizičke sile. Parametri njihove rezultante su u velikoj mjeri određeni dužinom luka, kao i njegovim središnjim uglom i radijusom.

Projektanti mašina i mehanizama moraju izračunati dužine različitih lukova za ispravan i tačan raspored komponenti različitih jedinica. U ovom slučaju, greške u proračunima su ispunjene činjenicom da će važni i kritični dijelovi međusobno netačno djelovati i mehanizam jednostavno neće moći funkcionirati kako su planirali njegovi kreatori. Primjeri struktura koje su prepune geometrijskih elemenata kao što su lukovi uključuju motore s unutarnjim sagorijevanjem, mjenjače, opremu za obradu drveta i metala, dijelove karoserije automobila i kamiona itd.

Arcs Oni su prilično česti u medicini, posebno u stomatologiji. Na primjer, koriste se za ispravljanje malokluzija. Korektivni elementi koji se nazivaju bravice (ili bracket sistemi) i odgovarajućeg oblika, izrađeni su od specijalnih legura, a ugrađuju se na način da mijenjaju položaj zuba. Podrazumeva se da, da bi tretman bio uspešan, ovi lukovi moraju biti vrlo precizno izračunati. Osim toga, lukovi se vrlo široko koriste u traumatologiji, a možda najupečatljiviji primjer za to je čuveni aparat Ilizarov, koji je izumio ruski doktor 1951. godine i koji se izuzetno uspješno koristi do danas. Njegovi sastavni dijelovi su metalni lukovi, opremljeni rupama kroz koje se provlače posebne igle za pletenje, a koji su glavni oslonci cijele konstrukcije.

Zadaci o pronalaženju površine kruga obavezan su dio Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. U pravilu se ovoj temi dodjeljuje nekoliko zadataka u certifikacijskom testu. Svi srednjoškolci, bez obzira na stepen pripremljenosti, trebaju razumjeti algoritam za pronalaženje obima i površine kruga.

Ako vam takvi planimetrijski zadaci uzrokuju poteškoće, preporučujemo da se obratite obrazovnom portalu Shkolkovo. Kod nas možete popuniti praznine u znanju.

Odgovarajući odjeljak stranice predstavlja veliki izbor zadataka za pronalaženje opsega i površine kruga, sličnih onima koji su uključeni u Jedinstveni državni ispit. Nakon što ih nauči pravilno izvoditi, maturant će moći uspješno da se nosi sa ispitom.

Osnovni momenti

Problemi koji zahtijevaju korištenje formula površine mogu biti direktni ili inverzni. U prvom slučaju poznati su parametri elemenata figure. U ovom slučaju, potrebna količina je površina. U drugom slučaju, naprotiv, površina je poznata i potrebno je pronaći neki element figure. Algoritam za izračunavanje ispravnog odgovora u takvim zadacima razlikuje se samo po redoslijedu primjene osnovnih formula. Zato je, kada se kreće u rješavanje ovakvih problema, potrebno ponoviti teorijsko gradivo.

Obrazovni portal "Školkovo" pruža sve osnovne informacije na temu "Pronalaženje dužine kruga ili luka i površine kruga", kao i na druge teme, na primjer. Naši stručnjaci su to pripremili i predstavili u najpristupačnijem obliku.

Sjetivši se osnovnih formula, studenti mogu početi rješavati probleme za pronalaženje površine kruga, slične onima uključenim u Jedinstveni državni ispit, na mreži. Za svaku vježbu stranica pruža detaljno rješenje i tačan odgovor. Ako je potrebno, bilo koji zadatak se može sačuvati u odeljku „Favoriti“ da biste se kasnije vratili na njega i razgovarali o njemu sa nastavnikom.

Krug je glavna figura u geometriji, čija se svojstva proučavaju u školi u 8. razredu. Jedan od tipičnih problema koji uključuje krug je pronaći površinu nekog njegovog dijela, koji se naziva kružni sektor. Članak daje formule za površinu sektora i dužinu njegovog luka, kao i primjer njihove upotrebe za rješavanje određenog problema.

Koncept obima i kruga

Prije nego što damo formulu za površinu sektora kruga, razmotrimo koja je navedena figura. Prema matematičkoj definiciji, krug je lik na ravni, čije su sve tačke jednako udaljene od određene tačke (centra).

Kada se razmatra krug, koristi se sljedeća terminologija:

• Radijus je segment povučen od središnje tačke do krive kružnice. Obično se označava slovom R.
• Prečnik je segment koji spaja dve tačke na kružnici, ali takođe prolazi kroz centar figure. Obično se označava slovom D.
• Luk je dio zakrivljenog kruga. Mjeri se ili u jedinicama dužine ili korištenjem uglova.

Krug je još jedna važna figura u geometriji; to je skup tačaka koje je ograničeno krivom kružnice.

Površina kruga i obim

Vrijednosti navedene u naslovu stavke izračunavaju se pomoću dvije jednostavne formule. Oni su dati u nastavku:

• Obim: L = 2*pi*R.
• Površina kruga: S = pi*R 2 .

U ovim formulama, pi je određena konstanta koja se zove broj Pi. Iracionalan je, odnosno ne može se tačno izraziti kao prosti razlomak. Približna vrijednost Pi je 3,1416.

Kao što se vidi iz gornjih izraza, da bi se izračunala površina i dužina dovoljno je znati samo polumjer kružnice.

Površina sektora kruga i dužina njegovog luka

Prije nego što razmotrimo odgovarajuće formule, podsjetimo se da se uglovi u geometriji obično izražavaju na dva glavna načina:

• u seksagezimalnim stepenima, sa potpunom revolucijom oko svoje ose od 360 o;
• u radijanima, koji su izraženi u razlomcima broja pi i povezani su sa stepenima sljedećom jednakošću: 2*pi = 360 o.

Sektor kružnice je lik omeđen trima linijama: lukom kružnice i dva radijusa koji se nalaze na krajevima ovog luka. Primjer kružnog sektora prikazan je na fotografiji ispod.

Nakon što ste stekli ideju o tome šta je sektor kruga, lako je razumjeti kako izračunati njegovu površinu i dužinu odgovarajućeg luka. Sa gornje slike se vidi da luk sektora odgovara uglu θ. Znamo da potpuni krug odgovara radijanima 2*pi, što znači da će formula za površinu kružnog sektora imati oblik: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 * θ/(2*pi) = θ*R 2 /2. Ovdje je ugao θ izražen u radijanima. Slična formula za oblast sektora ako se ugao θ meri u stepenima izgledaće ovako: S 1 = pi*θ*R 2 /360.

Dužina luka koji formira sektor izračunava se po formuli: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. A ako je θ poznato u stepenima, onda je: L 1 = pi*θ*R/180.

Primjer rješenja problema

Koristeći jednostavan problem kao primjer, pokazat ćemo kako se koriste formule za površinu sektora kruga i dužinu njegovog luka.

Poznato je da točak ima 12 krakova. Kada točak napravi jedan puni okret, on prelazi udaljenost od 1,5 metara. Kolika je površina zatvorena između dva susjedna kraka točka i kolika je dužina luka između njih?

Kao što se može vidjeti iz odgovarajućih formula, da biste ih koristili, morate znati dvije veličine: polumjer kružnice i kut luka. Radijus se može izračunati na osnovu poznavanja obima točka, budući da mu razdaljina koju pređe u jednom obrtaju tačno odgovara. Imamo: 2*R*pi = 1,5, odakle je: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 metara. Ugao između najbližih žbica može se odrediti znajući njihov broj. Pod pretpostavkom da svih 12 krakova ravnomjerno dijele krug na jednake sektore, dobijamo 12 identičnih sektora. Prema tome, ugaona mjera luka između dva kraka jednaka je: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 radijana.

Pronašli smo sve potrebne količine, sada ih možemo zamijeniti u formule i izračunati vrijednosti koje zahtijeva uvjet zadatka. Dobijamo: S 1 = 0,5236 * (0,2387) 2 /2 = 0,0149 m 2, odnosno 149 cm 2; L 1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 m ili 12,5 cm.