Формула за дължината на по-голямата дъга на окръжност. Намиране на обиколка и площ на кръг

Видео курсът „Вземи A“ включва всички теми, необходими за успешно полагане на Единния държавен изпит по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, клопки и тайни на Единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.

Обиколканаречена затворена равнинна крива, всички точки от която, лежащи в една и съща равнина, са разположени на едно и също разстояние от центъра.

Точка ОТНОСНО е центърът на кръга, Р е радиусът на окръжността - разстоянието от всяка точка на окръжността до центъра. По дефиниция всички радиуси на затворен

ориз. 1

кривите имат еднаква дължина.

Разстоянието между две точки на окръжност се нарича хорда. Отсечка от окръжност, минаваща през нейния център и свързваща две нейни точки, се нарича диаметър. Средната точка на диаметъра е центърът на кръга. Точките на окръжност разделят затворена крива на две части, всяка част се нарича кръгова дъга. Ако краищата на дъгата принадлежат на диаметъра, тогава такъв кръг се нарича полукръг, дължината на който обикновено се обозначава π . Градусната мярка на два кръга, които имат общи краища, е 360 градуса.

Концентричните окръжности са окръжности, които имат общ център. Ортогоналните окръжности са окръжности, които се пресичат под ъгъл от 90 градуса.

Равнината, оградена от окръжност, се нарича окръжност. Една част от окръжността, която е ограничена от два радиуса и дъга, е кръгъл сектор. Секторна дъга е дъга, която ограничава сектор.

Ориз. 2

Относителното разположение на окръжност и права линия (фиг. 2).

Окръжност и права линия имат две общи точки, ако разстоянието от правата линия до центъра на окръжността е по-малко от радиуса на окръжността. В този случай правата линия по отношение на окръжността се нарича секанс.

Окръжност и права линия имат една обща точка, ако разстоянието от правата линия до центъра на окръжността е равно на радиуса на окръжността. В този случай правата по отношение на окръжността се нарича допирателна към окръжността. Тяхната обща точка се нарича допирна точка на окръжността и правата.

Основни формули за кръгове:

• C = 2πR , Където ° С - обиколка
• R = С/(2π) = D/2 , Където С/(2π) — дължина на дъгата от окръжност
• D = C/π = 2R , Където д - диаметър
• S = πR2 , Където С - площ на кръг
• S = ((πR2)/360)α , Където С — зоната на кръговия сектор

Обиколката и кръгът са получили името си в Древна Гърция. Още в древни времена хората се интересуват от кръгли тела, така че кръгът се превърна в короната на съвършенството. Фактът, че едно кръгло тяло може да се движи самостоятелно, е тласъкът за изобретяването на колелото. Изглежда, какво е специалното за това изобретение? Но представете си, ако в един миг колелата изчезнат от живота ни. Това изобретение по-късно дава началото на математическата концепция за кръг.

Частта от фигура, която образува окръжност, чиито точки са еднакво отдалечени, се нарича дъга. Ако начертаем лъчи от централната точка на окръжността до точки, съвпадащи с краищата на дъгата, ще се образува нейният централен ъгъл.

Определяне на дължината на дъгата

Произвежда се по следната формула:

където L е желаната дължина на дъгата, π = 3,14, r е радиусът на окръжността, α е централният ъгъл.

Дължината на дъгата на окръжност е 14,82 сантиметра.

В елементарната геометрия дъгата се разбира като подмножество от окръжност, разположена между две точки, разположени върху нея. На практика решавайте задачи в определениенея дължинаинженерите и архитектите трябва да го правят доста често, тъй като този геометричен елемент е широко разпространен в голямо разнообразие от дизайни.

Може би първите, които се изправиха пред тази задача, бяха древните архитекти, които по един или друг начин трябваше да определят този параметър за изграждането на сводове, широко използвани за покриване на пролуките между подпорите в кръгли, многоъгълни или елипсовидни сгради. Ако се вгледате внимателно в шедьоврите на древногръцката, древноримската и особено арабската архитектура, оцелели до наши дни, ще забележите, че арките и сводовете са изключително често срещани в техните проекти. Творенията на съвременните архитекти не са толкова богати на тях, но тези геометрични елементи, разбира се, присъстват в тях.

Дължинаразлични дъгатрябва да се изчисляват при изграждането на пътища и железопътни линии, както и на моторни трасета и в много случаи безопасността на движението до голяма степен зависи от правилността и точността на изчисленията. Факт е, че много завои на магистрали от геометрична гледна точка са точно дъги и докато се движат по тях, върху превозните средства действат различни физически сили. Параметрите на техния резултат се определят до голяма степен от дължината на дъгата, както и от нейния централен ъгъл и радиус.

Конструкторите на машини и механизми трябва да изчислят дължините на различните дъги за правилното и точно подреждане на компонентите на различните възли. В този случай грешките в изчисленията са изпълнени с факта, че важни и критични части ще взаимодействат неправилно помежду си и механизмът просто няма да може да функционира, както планират неговите създатели. Примери за структури, които са пълни с геометрични елементи като дъги, включват двигатели с вътрешно горене, скоростни кутии, дърво и металообработващо оборудване, части на каросерията на автомобили и камиони и др.

дъгиТе са доста често срещани в медицината, особено в стоматологията. Например, те се използват за коригиране на неправилна оклузия. Коригиращите елементи, наречени скоби (или брекет системи) и имащи подходяща форма, са изработени от специални сплави и са монтирани така, че да променят позицията на зъбите. От само себе си се разбира, че за да е успешно лечението, тези дъги трябва да бъдат много точно изчислени. Освен това дъгите се използват много широко в травматологията и може би най-яркият пример за това е известният апарат Илизаров, изобретен от руски лекар през 1951 г. и изключително успешно използван и до днес. Неговите неразделни части са метални дъги, оборудвани с отвори, през които се провират специални игли за плетене и които са основните опори на цялата конструкция.

Задачите за намиране на площта на кръг са задължителна част от Единния държавен изпит по математика. По правило в сертификационния тест към тази тема се възлагат няколко задачи. Всички ученици от гимназията, независимо от нивото на подготовка, трябва да разберат алгоритъма за намиране на обиколката и площта на кръг.

Ако такива планиметрични задачи ви създават затруднения, препоръчваме ви да се обърнете към образователния портал на Школково. С нас можете да попълните пропуските в знанията.

Съответният раздел на сайта представя голям избор от задачи за намиране на обиколката и площта на кръг, подобни на тези, включени в Единния държавен изпит. След като се научи да ги изпълнява правилно, завършилият ще може успешно да се справи с изпита.

Основни моменти

Задачите, които изискват използването на формули за площ, могат да бъдат директни или обратни. В първия случай параметрите на елементите на фигурата са известни. В този случай необходимото количество е площ. Във втория случай, напротив, областта е известна и е необходимо да се намери някакъв елемент от фигурата. Алгоритъмът за изчисляване на правилния отговор в такива задачи се различава само в реда, в който се прилагат основните формули. Ето защо, когато се започне решаването на такива задачи, е необходимо да се повтори теоретичният материал.

Образователният портал "Школково" предоставя цялата основна информация по темата "Намиране на дължината на окръжност или дъга и площта на окръжност", както и по други теми, например Нашите специалисти я подготвиха и представиха в най-достъпна форма.

След като си спомнят основните формули, студентите могат да започнат да решават задачи за намиране на площта на кръг, подобни на тези, включени в Единния държавен изпит, онлайн. За всяко упражнение сайтът предоставя подробно решение и верен отговор. Ако е необходимо, всяка задача може да бъде запазена в секцията „Любими“, за да се върнете към нея по-късно и да я обсъдите с учителя.

Кръгът е основната фигура в геометрията, чиито свойства се изучават в училище в 8 клас. Една от типичните задачи, свързани с кръг, е да се намери площта на част от него, която се нарича кръгов сектор. Статията предоставя формули за площта на сектора и дължината на неговата дъга, както и пример за тяхното използване за решаване на конкретен проблем.

Концепцията за окръжност и кръг

Преди да дадем формулата за площта на сектор от кръг, нека разгледаме каква е посочената фигура. Според математическата дефиниция кръгът е фигура в равнина, чиито точки са на еднакво разстояние от определена точка (център).

Когато се разглежда кръг, се използва следната терминология:

• Радиусът е сегмент, начертан от централната точка до кривата на окръжността. Обикновено се обозначава с буквата R.
• Диаметърът е линеен сегмент, който свързва две точки от окръжност, но също така минава през центъра на фигурата. Обикновено се обозначава с буквата D.
• Дъгата е част от извита окръжност. Измерва се или в единици дължина, или с помощта на ъгли.

Кръгът е друга важна фигура в геометрията; това е колекция от точки, която е ограничена от кривата на кръг.

Площ на кръг и обиколка

Стойностите, отбелязани в заглавието на артикула, се изчисляват с помощта на две прости формули. Те са дадени по-долу:

• Обиколка: L = 2*pi*R.
• Площ на кръг: S = pi*R 2 .

В тези формули pi е определена константа, наречена число Pi. Той е ирационален, тоест не може да бъде точно изразен като проста дроб. Приблизителната стойност на Pi е 3,1416.

Както се вижда от горните изрази, за да се изчисли площта и дължината, е достатъчно да се знае само радиуса на окръжността.

Площ на сектор от кръг и дължина на дъгата му

Преди да разгледаме съответните формули, нека си припомним, че ъглите в геометрията обикновено се изразяват по два основни начина:

• в шестдесетични градуса, като пълното завъртане около оста му е 360o;
• в радиани, които се изразяват в части от числото pi и се отнасят към градуси по следното равенство: 2*pi = 360 o.

Сектор от окръжност е фигура, ограничена от три линии: дъга от окръжност и два радиуса, разположени в краищата на тази дъга. Пример за кръгъл сектор е показан на снимката по-долу.

След като сте придобили представа какво е сектор от кръг, е лесно да разберете как да изчислите неговата площ и дължината на съответната дъга. От фигурата по-горе се вижда, че дъгата на сектора съответства на ъгъла θ. Знаем, че пълен кръг съответства на 2*pi радиана, което означава, че формулата за площта на кръгъл сектор ще приеме формата: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 * θ/(2*pi) = θ*R 2 /2. Тук ъгълът θ се изразява в радиани. Подобна формула за площта на сектора, ако ъгълът θ се измерва в градуси, ще изглежда така: S 1 = pi*θ*R 2 /360.

Дължината на дъгата, образуваща сектора, се изчислява по формулата: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. И ако θ е известно в градуси, тогава: L 1 = pi*θ*R/180.

Пример за решение на проблем

Като използваме проста задача като пример, ще покажем как да използваме формулите за площта на сектор от окръжност и дължината на нейната дъга.

Известно е, че колелото има 12 спици. Когато колелото направи един пълен оборот, то изминава разстояние от 1,5 метра. Каква е площта, затворена между две съседни спици на колелото и каква е дължината на дъгата между тях?

Както се вижда от съответните формули, за да ги използвате, трябва да знаете две величини: радиуса на окръжността и ъгъла на дъгата. Радиусът може да се изчисли въз основа на познаването на обиколката на колелото, тъй като разстоянието, което то изминава за един оборот, съответства точно на него. Имаме: 2*R*pi = 1,5, откъдето: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 метра. Ъгълът между най-близките спици може да се определи, като се знае техният брой. Ако приемем, че всичките 12 спици равномерно разделят кръга на равни сектори, получаваме 12 еднакви сектора. Съответно, ъгловата мярка на дъгата между двете спици е равна на: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 радиана.

Намерихме всички необходими количества, сега можем да ги заместим във формулите и да изчислим стойностите, които се изискват от условието на проблема. Получаваме: S 1 = 0,5236 * (0,2387) 2 /2 = 0,0149 m 2, или 149 cm 2; L 1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 m или 12,5 cm.