Формула за площта на правилна четириъгълна пирамида. Пирамида. Формули и свойства на пирамидата

Каква фигура наричаме пирамида? Първо, това е полиедър. Второ, в основата на този полиедър има произволен многоъгълник, а страните на пирамидата (страничните лица) задължително имат формата на триъгълници, събиращи се в един общ връх. Сега, след като разбрахме термина, нека разберем как да намерим повърхността на пирамидата.

Ясно е, че повърхността на такова геометрично тяло е съставена от сумата от площите на основата и цялата му странична повърхност.

Изчисляване на площта на основата на пирамида

Изборът на формула за изчисление зависи от формата на многоъгълника, който е в основата на нашата пирамида. Тя може да бъде правилна, тоест със страни с еднаква дължина, или неправилна. Нека разгледаме и двата варианта.

Основата е правилен многоъгълник

От училищния курс знаем:

• площта на квадрата ще бъде равна на дължината на квадратната му страна;
• Площта на равностранен триъгълник е равна на квадрата на страната му, разделена на 4 и умножена по корен квадратен от три.

Но има и обща формула за изчисляване на площта на всеки правилен многоъгълник (Sn): трябва да умножите периметъра на този многоъгълник (P) по радиуса на вписаната в него окръжност (r) и след това да разделите резултат с две: Sn=1/2P*r .

В основата има неправилен многоъгълник

Схемата за намиране на неговата площ е първо да разделите целия многоъгълник на триъгълници, да изчислите площта на всеки от тях по формулата: 1/2a*h (където a е основата на триъгълника, h е височината, спусната до тази база), съберете всички резултати.

Площ на страничната повърхност на пирамидата

Сега нека изчислим площта на страничната повърхност на пирамидата, т.е. сумата от площите на всичките му странични страни. Тук също има 2 опции.

1. Нека имаме произволна пирамида, т.е. един с неправилен многоъгълник в основата си. След това трябва да изчислите площта на всяко лице поотделно и да добавите резултатите. Тъй като страните на пирамидата по дефиниция могат да бъдат само триъгълници, изчислението се извършва по гореспоменатата формула: S=1/2a*h.
2. Нека нашата пирамида е правилна, т.е. в основата му лежи правилен многоъгълник, а проекцията на върха на пирамидата е в нейния център. След това, за да се изчисли площта на страничната повърхност (Sb), е достатъчно да се намери половината от произведението на периметъра на основния многоъгълник (P) и височината (h) на страничната страна (еднакво за всички лица ): Sb = 1/2 P*h. Периметърът на многоъгълник се определя чрез събиране на дължините на всичките му страни.

Общата площ на правилната пирамида се намира чрез сумиране на площта на нейната основа с площта на цялата странична повърхност.

Примери

Например, нека изчислим алгебрично площите на няколко пирамиди.

Повърхност на триъгълна пирамида

В основата на такава пирамида е триъгълник. Използвайки формулата So=1/2a*h намираме площта на основата. Използваме същата формула, за да намерим площта на всяко лице на пирамидата, която също има триъгълна форма, и получаваме 3 области: S1, S2 и S3. Площта на страничната повърхност на пирамидата е сумата от всички площи: Sb = S1+ S2+ S3. Като съберем площите на страните и основата, получаваме общата повърхност на желаната пирамида: Sp= So+ Sb.

Повърхност на четириъгълна пирамида

Площта на страничната повърхност е сумата от 4 члена: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, всеки от които се изчислява по формулата за площта на триъгълник. И площта на основата ще трябва да се търси в зависимост от формата на четириъгълника - правилна или неправилна. Общата повърхност на пирамидата отново се получава чрез събиране на площта на основата и общата повърхност на дадената пирамида.

Общата площ на страничната повърхност на пирамидата се състои от сумата от площите на нейните странични лица.

В четириъгълната пирамида има два вида лица - четириъгълник в основата и триъгълници с общ връх, които образуват страничната повърхност.
Първо трябва да изчислите площта на страничните повърхности. За да направите това, можете да използвате формулата за площта на триъгълник или можете също да използвате формулата за повърхността на четириъгълна пирамида (само ако полиедърът е правилен). Ако пирамидата е правилна и е известна дължината на ръба a на основата и апотемата h, начертани към нея, тогава:

Ако според условията са дадени дължината на ръба c на правилна пирамида и дължината на страната на основата a, тогава можете да намерите стойността, като използвате следната формула:

Ако са дадени дължината на ръба в основата и острия ъгъл срещу него в горната част, тогава площта на страничната повърхност може да се изчисли чрез съотношението на квадрата на страната a към двойния косинус на половината ъгъл α:

Нека разгледаме пример за изчисляване на повърхността на четириъгълна пирамида през страничния ръб и страната на основата.

Задача: Нека е дадена правилна четириъгълна пирамида. Дължина на ръба b = 7 см, дължина на основната страна a = 4 см. Заместете дадените стойности във формулата:

Показахме изчисления на площта на едната странична повърхност за правилна пирамида. Съотв. За да намерите площта на цялата повърхност, трябва да умножите резултата по броя на лицата, т.е. по 4. Ако пирамидата е произволна и нейните лица не са равни една на друга, тогава трябва да се изчисли площта за всяка отделна страна. Ако основата е правоъгълник или паралелограм, тогава си струва да запомните техните свойства. Страните на тези фигури са успоредни по двойки и съответно лицата на пирамидата също ще бъдат еднакви по двойки.
Формулата за площта на основата на четириъгълна пирамида директно зависи от това кой четириъгълник лежи в основата. Ако пирамидата е правилна, тогава площта на основата се изчислява по формулата, ако основата е ромб, тогава ще трябва да запомните как се намира. Ако в основата има правоъгълник, тогава намирането на неговата площ ще бъде доста просто. Достатъчно е да знаете дължините на страните на основата. Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на основата на четириъгълна пирамида.

Задача: Нека е дадена пирамида, в основата на която лежи правоъгълник със страни a = 3 см, b = 5 см. От върха на пирамидата до всяка от страните е спусната апотема. h-a =4 см, h-b =6 см. Върхът на пирамидата лежи на една права с пресечната точка на диагоналите. Намерете общата площ на пирамидата.
Формулата за площта на четириъгълна пирамида се състои от сумата от площите на всички лица и площта на основата. Първо, нека намерим площта на основата:


Сега нека погледнем страните на пирамидата. Те са еднакви по двойки, тъй като височината на пирамидата пресича пресечната точка на диагоналите. Тоест в нашата пирамида има два триъгълника с основа a и височина h-a, както и два триъгълника с основа b и височина h-b. Сега нека намерим площта на триъгълника, използвайки добре познатата формула:


Сега нека изпълним пример за изчисляване на площта на четириъгълна пирамида. В нашата пирамида с правоъгълник в основата формулата ще изглежда така:

Площ на повърхността на пирамидата. В тази статия ще разгледаме проблемите с правилните пирамиди. Нека ви напомня, че правилната пирамида е пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, върхът на пирамидата е проектиран в центъра на този многоъгълник.

Страничната страна на такава пирамида е равнобедрен триъгълник.Надморската височина на този триъгълник, изтеглена от върха на правилна пирамида, се нарича апотема, SF - апотема:

В вида на проблема, представен по-долу, трябва да намерите площта на цялата пирамида или площта на нейната странична повърхност. В блога вече бяха обсъдени няколко проблема с правилни пирамиди, където въпросът беше за намирането на елементите (височина, основен ръб, страничен ръб).

Задачите на единния държавен изпит обикновено разглеждат правилни триъгълни, четириъгълни и шестоъгълни пирамиди. Не съм виждал проблеми с правилните петоъгълни и седмоъгълни пирамиди.

Формулата за площта на цялата повърхност е проста - трябва да намерите сумата от площта на основата на пирамидата и площта на нейната странична повърхност:

Нека разгледаме задачите:

Страните на основата на правилна четириъгълна пирамида са 72, страничните ръбове са 164. Намерете повърхността на тази пирамида.

Площта на повърхността на пирамидата е равна на сумата от площите на страничната повърхност и основата:

*Страничната повърхност се състои от четири триъгълника с еднаква площ. Основата на пирамидата е квадрат.

Можем да изчислим площта на страната на пирамидата, като използваме:

Така повърхността на пирамидата е:

Отговор: 28224

Страните на основата на правилна шестоъгълна пирамида са равни на 22, страничните ръбове са равни на 61. Намерете страничната повърхност на тази пирамида.

Основата на правилната шестоъгълна пирамида е правилен шестоъгълник.

Площта на страничната повърхност на тази пирамида се състои от шест области на равни триъгълници със страни 61,61 и 22:

Нека намерим площта на триъгълника, използвайки формулата на Heron:

Така площта на страничната повърхност е:

Отговор: 3240

*В проблемите, представени по-горе, площта на страничната повърхност може да се намери с помощта на друга формула за триъгълник, но за това трябва да изчислите апотемата.

27155. Намерете повърхността на правилна четириъгълна пирамида, чиято основна страна е 6 и чиято височина е 4.

За да намерим площта на повърхността на пирамидата, трябва да знаем площта на основата и площта на страничната повърхност:

Площта на основата е 36, тъй като тя е квадрат със страна 6.

Страничната повърхност се състои от четири лица, които са равни триъгълници. За да намерите площта на такъв триъгълник, трябва да знаете неговата основа и височина (апотема):

*Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на основата и височината, прекарана към тази основа.

Основата е известна, тя е равна на шест. Да намерим височината. Помислете за правоъгълен триъгълник (маркиран в жълто):

Единият крак е равен на 4, тъй като това е височината на пирамидата, другият е равен на 3, тъй като е равен на половината ръб на основата. Можем да намерим хипотенузата с помощта на Питагоровата теорема:

Това означава, че площта на страничната повърхност на пирамидата е:

Така повърхността на цялата пирамида е:

Отговор: 96

27069. Страните на основата на правилна четириъгълна пирамида са равни на 10, страничните ръбове са равни на 13. Намерете повърхността на тази пирамида.

27070. Страните на основата на правилна шестоъгълна пирамида са равни на 10, страничните ръбове са равни на 13. Намерете площта на страничната повърхност на тази пирамида.

Има и формули за площта на страничната повърхност на правилната пирамида. В правилната пирамида основата е ортогонална проекция на страничната повърхност, следователно:

П- основен периметър, л- апотема на пирамидата

*Тази формула се базира на формулата за лицето на триъгълник.

Ако искате да научите повече за това как се извличат тези формули, не го пропускайте, следете публикуването на статии.Това е всичко. Късмет!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

е фигура, чиято основа е произволен многоъгълник, а страничните стени са представени от триъгълници. Техните върхове лежат в една и съща точка и съответстват на върха на пирамидата.

Пирамидата може да бъде разнообразна - триъгълна, четириъгълна, шестоъгълна и др. Името му може да се определи в зависимост от броя на ъглите, съседни на основата.
Правилната пирамиданаречена пирамида, в която страните на основата, ъглите и ръбовете са равни. Също така в такава пирамида площта на страничните лица ще бъде равна.
Формулата за площта на страничната повърхност на пирамидата е сумата от площите на всички нейни лица:
Тоест, за да изчислите площта на страничната повърхност на произволна пирамида, трябва да намерите площта на всеки отделен триъгълник и да ги добавите заедно. Ако пирамидата е пресечена, тогава нейните лица са представени от трапецовидни. Има друга формула за правилна пирамида. При него страничната повърхност се изчислява чрез полупериметъра на основата и дължината на апотемата:

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на страничната повърхност на пирамида.
Нека е дадена правилна четириъгълна пирамида. Основна страна b= 6 см, апотема а= 8 см. Намерете площта на страничната повърхност.

В основата на правилната четириъгълна пирамида има квадрат. Първо, нека намерим неговия периметър:

Сега можем да изчислим страничната повърхност на нашата пирамида:

За да намерите общата площ на полиедър, ще трябва да намерите площта на основата му. Формулата за площта на основата на пирамида може да се различава в зависимост от това кой многоъгълник лежи в основата. За да направите това, използвайте формулата за площта на триъгълник, площ на успоредники т.н.

Помислете за пример за изчисляване на площта на основата на пирамида, дадена от нашите условия. Тъй като пирамидата е правилна, в основата й има квадрат.
Квадратна площизчислява се по формулата: ,
където a е страната на квадрата. За нас е 6 см. Това означава, че площта на основата на пирамидата е:

Сега всичко, което остава, е да се намери общата площ на полиедъра. Формулата за площта на пирамидата се състои от сумата от площта на нейната основа и страничната повърхност.

Определение. Страничен ръб- това е триъгълник, в който единият ъгъл лежи на върха на пирамидата, а противоположната страна съвпада със страната на основата (многоъгълник).

Определение. Странични ребра- това са общите страни на страничните лица. Една пирамида има толкова ръбове, колкото са ъглите на многоъгълник.

Определение. Височина на пирамидата- това е перпендикуляр, спуснат от върха към основата на пирамидата.

Определение. апотема- това е перпендикуляр към страничната повърхност на пирамидата, спуснат от върха на пирамидата към страната на основата.

Определение. Диагонално сечение- това е сечение на пирамида от равнина, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата.

Определение. Правилна пирамидае пирамида, в която основата е правилен многоъгълник, а височината се спуска към центъра на основата.

Обем и повърхност на пирамидата

Формула. Обем на пирамидатапрез основна площ и височина:

Свойства на пирамидата

Ако всички странични ръбове са равни, тогава около основата на пирамидата може да се начертае кръг, а центърът на основата съвпада с центъра на кръга. Също така, перпендикуляр, пуснат от върха, минава през центъра на основата (кръг).

Ако всички странични ръбове са равни, тогава те са наклонени към равнината на основата под същите ъгли.

Страничните ръбове са равни, когато образуват равни ъгли с равнината на основата или ако може да се опише окръжност около основата на пирамидата.

Ако страничните стени са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл, тогава в основата на пирамидата може да се впише кръг, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център.

Ако страничните лица са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл, тогава апотемите на страничните лица са равни.

Свойства на правилна пирамида

1. Върхът на пирамидата е на еднакво разстояние от всички ъгли на основата.

2. Всички странични ръбове са равни.

3. Всички странични ребра са наклонени под еднакъв ъгъл спрямо основата.

4. Апотемите на всички странични лица са равни.

5. Площите на всички странични лица са равни.

6. Всички лица имат еднакви двустенни (плоски) ъгли.

7. Около пирамидата може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде пресечната точка на перпендикулярите, които минават през средата на ръбовете.

8. Можете да поставите сфера в пирамида. Центърът на вписаната сфера ще бъде точката на пресичане на ъглополовящите, излизащи от ъгъла между ръба и основата.

9. Ако центърът на вписаната сфера съвпада с центъра на описаната сфера, тогава сумата от равнинните ъгли при върха е равна на π или обратно, един ъгъл е равен на π/n, където n е числото на ъглите в основата на пирамидата.

Връзката между пирамидата и сферата

Сфера може да бъде описана около пирамида, когато в основата на пирамидата има многостен, около който може да се опише окръжност (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде пресечната точка на равнини, минаващи перпендикулярно през средните точки на страничните ръбове на пирамидата.

Винаги е възможно да се опише сфера около всяка триъгълна или правилна пирамида.

Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

Свързване на пирамида с конус

Конусът се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е вписана в основата на пирамидата.

В пирамида може да се впише конус, ако апотемите на пирамидата са равни една на друга.

Конусът се нарича описан около пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е описана около основата на пирамидата.

Може да се опише конус около пирамида, ако всички странични ръбове на пирамидата са еднакви.

Връзка между пирамида и цилиндър

Пирамида се нарича вписана в цилиндър, ако върхът на пирамидата лежи върху една основа на цилиндъра, а основата на пирамидата е вписана в друга основа на цилиндъра.

Може да се опише цилиндър около пирамида, ако може да се опише окръжност около основата на пирамидата.

Определение. Пресечена пирамида (пирамидална призма)е многостен, който се намира между основата на пирамидата и секционната равнина, успоредна на основата. Така пирамидата има по-голяма основа и по-малка основа, която е подобна на по-голямата. Страничните лица са трапецовидни.

Определение. Триъгълна пирамида (тетраедър)е пирамида, в която три лица и основа са произволни триъгълници.

Тетраедърът има четири лица и четири върха и шест ръба, където всеки два ръба нямат общи върхове, но не се докосват.

Всеки връх се състои от три лица и ръбове, които се образуват триъгълен ъгъл.

Сегментът, свързващ върха на тетраедър с центъра на срещуположното лице, се нарича медиана на тетраедъра(GM).

Бимедианнарича сегмент, свързващ средните точки на противоположни ръбове, които не се допират (KL).

Всички бимедиани и медиани на тетраедър се пресичат в една точка (S). В този случай бимедианите се делят наполовина, а медианите се делят в съотношение 3:1, като се започне от върха.

Определение. Наклонена пирамидае пирамида, в която един от ръбовете образува тъп ъгъл (β) с основата.

Определение. Правоъгълна пирамидае пирамида, в която едно от страничните лица е перпендикулярно на основата.

Определение. Остроъгълна пирамида- пирамида, в която апотемата е повече от половината от дължината на страната на основата.

Определение. Тъпа пирамида- пирамида, в която апотемата е по-малка от половината от дължината на страната на основата.

Определение. Правилен тетраедър- тетраедър, в който и четирите лица са равностранни триъгълници. Той е един от петте правилни многоъгълника. В правилния тетраедър всички двустенни ъгли (между лицата) и тристенни ъгли (във върха) са равни.

Определение. Правоъгълен тетраедърсе нарича тетраедър, в който има прав ъгъл между три ръба на върха (ръбовете са перпендикулярни). Оформят се три лица правоъгълен триъгълен ъгъли лицата са правоъгълни триъгълници, а основата е произволен триъгълник. Апотемата на всяко лице е равна на половината от страната на основата, върху която пада апотемата.

Определение. Изоедърен тетраедърсе нарича тетраедър, чиито странични лица са равни една на друга, а основата е правилен триъгълник. Такъв тетраедър има лица, които са равнобедрени триъгълници.

Определение. Ортоцентричен тетраедърсе нарича тетраедър, в който всички височини (перпендикуляри), които са спуснати от върха към противоположното лице, се пресичат в една точка.

Определение. Звездна пирамиданаречен полиедър, чиято основа е звезда.

Определение. Бипирамида- многостен, състоящ се от две различни пирамиди (пирамидите също могат да бъдат отрязани), имащи обща основа, а върховете лежат на противоположните страни на основната равнина.