Formula za površinu pravilne četvorougaone piramide. Piramida. Formule i svojstva piramide
Koju figuru nazivamo piramidom? Prvo, to je poliedar. Drugo, u osnovi ovog poliedra nalazi se proizvoljan mnogokut, a stranice piramide (bočne strane) nužno imaju oblik trokuta koji se konvergiraju u jednom zajedničkom vrhu. Sada, nakon što smo razumjeli pojam, hajde da saznamo kako pronaći površinu piramide.
Jasno je da se površina takvog geometrijskog tijela sastoji od zbira površina baze i cijele njegove bočne površine.
Izračunavanje površine osnove piramide
Izbor formule za izračunavanje zavisi od oblika poligona koji leži ispod naše piramide. Može biti pravilna, odnosno sa stranicama iste dužine, ili nepravilna. Hajde da razmotrimo obe opcije.
Osnova je pravilan poligon
Iz školskog kursa znamo:
- površina kvadrata će biti jednaka dužini njegove stranice na kvadrat;
- Površina jednakostraničnog trokuta jednaka je kvadratu njegove stranice podijeljenoj sa 4 i pomnoženoj s kvadratnim korijenom od tri.
Ali postoji i opća formula za izračunavanje površine bilo kojeg pravilnog poligona (Sn): morate pomnožiti obim ovog poligona (P) s polumjerom kruga koji je u njega upisan (r), a zatim podijeliti rezultat za dva: Sn=1/2P*r .
U osnovi je nepravilan poligon
Šema za pronalaženje njegove površine je da prvo podijelite cijeli poligon na trokute, izračunate površinu svakog od njih koristeći formulu: 1/2a*h (gdje je a osnova trokuta, h visina spuštena na ovu bazu), zbrojite sve rezultate.
Bočna površina piramide
Sada izračunajmo površinu bočne površine piramide, tj. zbir površina svih njegovih bočnih strana. Ovdje također postoje 2 opcije.
- Neka nam je proizvoljna piramida, tj. jedan sa nepravilnim poligonom u osnovi. Zatim biste trebali izračunati površinu svakog lica posebno i dodati rezultate. Budući da stranice piramide, po definiciji, mogu biti samo trouglovi, proračun se vrši pomoću gore navedene formule: S=1/2a*h.
- Neka je naša piramida ispravna, tj. u njegovoj osnovi leži pravilan poligon, a projekcija vrha piramide je u njegovom središtu. Zatim, za izračunavanje površine bočne površine (Sb), dovoljno je pronaći polovinu proizvoda obima osnovnog poligona (P) i visine (h) bočne strane (isto za sva lica ): Sb = 1/2 P*h. Opseg poligona se određuje zbrajanjem dužina svih njegovih stranica.
Ukupna površina pravilne piramide nalazi se zbrajanjem površine njene osnove sa površinom cijele bočne površine.
Primjeri
Na primjer, hajde da algebarski izračunamo površine nekoliko piramida.
Površina trouglaste piramide
U osnovi takve piramide nalazi se trokut. Koristeći formulu So=1/2a*h nalazimo površinu baze. Istu formulu koristimo za pronalaženje površine svake strane piramide, koja također ima trokutasti oblik, i dobijamo 3 područja: S1, S2 i S3. Površina bočne površine piramide je zbir svih površina: Sb = S1+ S2+ S3. Sabiranjem površina stranica i osnove dobijamo ukupnu površinu željene piramide: Sp= So+ Sb.
Površina četvorougaone piramide
Površina bočne površine je zbir 4 člana: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, od kojih se svaki izračunava pomoću formule za površinu trokuta. A područje baze će se morati tražiti, ovisno o obliku četverokuta - pravilnom ili nepravilnom. Ukupna površina piramide se ponovo dobija sabiranjem površine osnove i ukupne površine date piramide.
Ukupna površina bočne površine piramide sastoji se od zbira površina njenih bočnih strana.
U četverokutnoj piramidi postoje dvije vrste lica - četverokut u osnovi i trouglovi sa zajedničkim vrhom, koji čine bočnu površinu.
Prvo morate izračunati površinu bočnih strana. Da biste to učinili, možete koristiti formulu za površinu trokuta, ili također možete koristiti formulu za površinu četverokutne piramide (samo ako je poliedar pravilan). Ako je piramida pravilna i poznata je dužina ivice a osnove i apoteme h koja je povučena do nje, tada je:
Ako su, prema uslovima, date dužina ruba c pravilne piramide i dužina stranice baze a, tada možete pronaći vrijednost koristeći sljedeću formulu: 
Ako su dati dužina ivice na bazi i oštar ugao nasuprot njemu na vrhu, tada se površina bočne površine može izračunati omjerom kvadrata stranice a i dvostrukog kosinusa polovine ugao α: 
Razmotrimo primjer izračunavanja površine četverokutne piramide kroz bočni rub i stranu baze.
Problem: Neka je data pravilna četvorougaona piramida. Dužina ivice b = 7 cm, dužina osnovne strane a = 4 cm. Zamenite date vrednosti u formulu:
Prikazali smo proračune površine jedne bočne strane za pravilnu piramidu. Odnosno. Da biste pronašli površinu cijele površine, rezultat morate pomnožiti s brojem lica, odnosno sa 4. Ako je piramida proizvoljna i njene strane nisu jednake jedna drugoj, tada se mora izračunati površina za svaku pojedinačnu stranu. Ako je osnova pravokutnik ili paralelogram, onda je vrijedno zapamtiti njihova svojstva. Stranice ovih figura su paralelne u parovima, pa će prema tome i lica piramide biti identična u parovima.
Formula za površinu osnove četverokutne piramide direktno ovisi o tome koji četverokut leži u osnovi. Ako je piramida ispravna, tada se površina baze izračunava pomoću formule, ako je baza romb, tada ćete morati zapamtiti kako se nalazi. Ako postoji pravougaonik u bazi, tada će pronaći njegovu površinu vrlo jednostavno. Dovoljno je znati dužine stranica baze. Razmotrimo primjer izračunavanja površine osnove četverokutne piramide.
Zadatak: Neka je data piramida u čijem se dnu nalazi pravougaonik sa stranicama a = 3 cm, b = 5 cm. Sa vrha piramide na svaku stranu spušta se apotema. h-a =4 cm, h-b =6 cm.Vrh piramide leži na istoj liniji kao i tačka preseka dijagonala. Pronađite ukupnu površinu piramide.
Formula za površinu četvorougaone piramide sastoji se od zbira površina svih lica i površine osnove. Prvo, pronađimo površinu baze: 
Pogledajmo sada stranice piramide. Identični su u parovima, jer visina piramide siječe točku presjeka dijagonala. Odnosno, u našoj piramidi postoje dva trougla sa osnovom a i visinom h-a, kao i dva trougla sa osnovom b i visinom h-b. Sada pronađimo površinu trokuta koristeći dobro poznatu formulu: 
Sada izvedimo primjer izračunavanja površine četverokutne piramide. U našoj piramidi sa pravougaonikom u osnovi, formula bi izgledala ovako:
Površina piramide. U ovom članku ćemo razmotriti probleme s pravilnim piramidama. Da vas podsjetim da je pravilna piramida piramida čija je osnova pravilan poligon, vrh piramide je projektovan u centar ovog poligona.
Bočna strana takve piramide je jednakokraki trokut.Visina ovog trokuta povučena iz vrha pravilne piramide naziva se apotema, SF - apotema:
U tipu problema predstavljenom u nastavku, morate pronaći površinu cijele piramide ili površinu njene bočne površine. Na blogu se već raspravljalo o nekoliko problema sa pravilnim piramidama, gdje je pitanje bilo oko pronalaženja elemenata (visina, osnovna ivica, bočna ivica).
Zadaci Jedinstvenog državnog ispita obično ispituju pravilne trouglaste, četverokutne i šesterokutne piramide. Nisam vidio nikakve probleme sa pravilnim petougaonim i sedmougaonim piramidama.
Formula za površinu cijele površine je jednostavna - morate pronaći zbir površine osnove piramide i površine njene bočne površine:
Razmotrimo zadatke:
Stranice osnove pravilne četvorougaone piramide su 72, bočne ivice su 164. Nađite površinu ove piramide.
Površina piramide jednaka je zbroju površina bočne površine i baze:
*Bočna površina se sastoji od četiri trougla jednake površine. Osnova piramide je kvadrat.
Možemo izračunati površinu stranice piramide koristeći:
Dakle, površina piramide je:
Odgovor: 28224
Stranice osnove pravilne šesterokutne piramide jednake su 22, bočne ivice jednake su 61. Nađite površinu bočne površine ove piramide.
Osnova pravilne šestougaone piramide je pravilan šestougao.
Bočna površina ove piramide sastoji se od šest površina jednakih trokuta sa stranicama 61,61 i 22:
Nađimo površinu trokuta koristeći Heronovu formulu:
Dakle, bočna površina je:
Odgovor: 3240
*U gore navedenim problemima, površina bočne strane se može naći pomoću druge formule trokuta, ali za to morate izračunati apotemu.
27155. Nađi površinu pravilne četvorougaone piramide čije su osnovne stranice 6, a visina 4.
Da bismo pronašli površinu piramide, moramo znati površinu baze i površinu bočne površine:
Površina osnove je 36 jer je kvadrat sa stranicom 6.
Bočna površina se sastoji od četiri lica, koji su jednaki trokuti. Da biste pronašli površinu takvog trokuta, morate znati njegovu osnovu i visinu (apotemu):
*Površina trokuta jednaka je polovini umnoška osnove i visine povučene ovoj osnovici.
Baza je poznata, jednaka je šest. Hajde da nađemo visinu. Razmislite o pravokutnom trokutu (naglašeno žutom):
Jedna noga je jednaka 4, pošto je ovo visina piramide, druga je jednaka 3, jer je jednaka polovini ivice baze. Hipotenuzu možemo pronaći pomoću Pitagorine teoreme:
To znači da je površina bočne površine piramide:
Dakle, površina cijele piramide je:
Odgovor: 96
27069. Stranice osnove pravilne četvorougaone piramide jednake su 10, bočne ivice jednake su 13. Nađite površinu ove piramide.
27070. Stranice osnove pravilne šesterokutne piramide jednake su 10, bočne ivice jednake su 13. Nađite površinu bočne površine ove piramide.
Postoje i formule za bočnu površinu pravilne piramide. U pravilnoj piramidi osnova je ortogonalna projekcija bočne površine, dakle:
P- perimetar baze, l- apotema piramide
*Ova formula se zasniva na formuli za površinu trokuta.
Ako želite saznati više o tome kako se ove formule izvode, ne propustite, pratite objavljivanje članaka.To je sve. Sretno ti!
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.
je figura čija je osnova proizvoljan poligon, a bočne strane su predstavljene trouglovima. Njihovi vrhovi leže u istoj tački i odgovaraju vrhu piramide.
Piramida može biti raznolika - trouglasta, četverokutna, šesterokutna itd. Njegovo ime može se odrediti ovisno o broju uglova koji se nalaze uz bazu.
Prava piramida naziva se piramida u kojoj su stranice osnove, uglovi i ivice jednaki. I u takvoj piramidi će površina bočnih strana biti jednaka.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbir površina svih njenih strana:
Odnosno, da biste izračunali površinu bočne površine proizvoljne piramide, morate pronaći površinu svakog pojedinačnog trokuta i sabrati ih. Ako je piramida skraćena, tada su njena lica predstavljena trapezom. Postoji još jedna formula za pravilnu piramidu. U njemu se bočna površina izračunava kroz poluperimetar baze i dužinu apoteme:
Razmotrimo primjer izračunavanja površine bočne površine piramide.
Neka je data pravilna četvorougaona piramida. Osnovna strana b= 6 cm, apotema a= 8 cm Nađite površinu bočne površine.
U osnovi pravilne četvorougaone piramide je kvadrat. Prvo, pronađimo njegov perimetar:
Sada možemo izračunati bočnu površinu naše piramide: 
Da biste pronašli ukupnu površinu poliedra, morat ćete pronaći površinu njegove baze. Formula za površinu osnove piramide može se razlikovati ovisno o tome koji poligon leži u osnovi. Da biste to učinili, koristite formulu za površinu trokuta, površina paralelograma itd.
Razmotrimo primjer izračunavanja površine osnove piramide date našim uvjetima. Pošto je piramida pravilna, u njenoj osnovi je kvadrat.
Kvadratna površina izračunato po formuli: ,
gdje je a stranica kvadrata. Za nas je to 6 cm. To znači da je površina osnove piramide: 
Sada ostaje samo pronaći ukupnu površinu poliedra. Formula za površinu piramide sastoji se od zbira površine njene osnove i bočne površine.
Definicija. Bočna ivica- ovo je trokut u kojem jedan ugao leži na vrhu piramide, a suprotna strana se poklapa sa stranom baze (poligona).
Definicija. Bočna rebra- ovo su zajedničke strane bočnih strana. Piramida ima onoliko ivica koliko i uglova poligona.
Definicija. Visina piramide- ovo je okomica spuštena od vrha do osnove piramide.
Definicija. Apothem- ovo je okomita na bočnu stranu piramide, spuštena od vrha piramide na stranu osnove.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida je piramida u kojoj je osnova pravilan poligon, a visina se spušta do centra baze.
Zapremina i površina piramide
Formula. Volumen piramide kroz površinu osnove i visinu:
Svojstva piramide
Ako su sve bočne ivice jednake, tada se oko osnove piramide može nacrtati krug, a središte baze se poklapa sa središtem kruga. Također, okomica spuštena s vrha prolazi kroz centar baze (krug).
Ako su sve bočne ivice jednake, onda su nagnute prema ravni baze pod istim uglovima.
Bočne ivice su jednake kada formiraju jednake uglove sa ravninom osnove ili ako se oko osnove piramide može opisati krug.
Ako su bočne strane nagnute prema ravni osnove pod istim uglom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide se projektuje u njeno središte.
Ako su bočne strane nagnute prema ravni baze pod istim uglom, tada su apoteme bočnih strana jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih uglova baze.
2. Sve bočne ivice su jednake.
3. Sva bočna rebra su nagnuta pod jednakim uglovima u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bočnih strana su jednake.
5. Površine svih bočnih strana su jednake.
6. Sva lica imaju iste diedarske (ravne) uglove.
7. Oko piramide se može opisati sfera. Središte opisane sfere bit će presječna tačka okomica koje prolaze kroz sredinu ivica.
8. Možete uklopiti sferu u piramidu. Središte upisane sfere će biti tačka preseka simetrala koje izlaze iz ugla između ivice i osnove.
9. Ako se centar upisane sfere poklapa sa centrom opisane sfere, tada je zbir ravnih uglova na vrhu jednak π ili obrnuto, jedan ugao je jednak π/n, gdje je n broj uglova u osnovi piramide.
Veza između piramide i sfere
Sfera se može opisati oko piramide kada se u osnovi piramide nalazi poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uslov). Središte sfere će biti presjek ravnina koje prolaze okomito kroz sredine bočnih rubova piramide.
Uvek je moguće opisati sferu oko bilo koje trouglaste ili pravilne piramide.
Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u jednoj tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će biti centar sfere.
Veza piramide sa konusom
Za konus se kaže da je upisan u piramidu ako mu se vrhovi poklapaju, a osnova konusa upisana u bazu piramide.
Konus se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide jednake jedna drugoj.
Za konus se kaže da je opisan oko piramide ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa opisana oko osnove piramide.
Konus se može opisati oko piramide ako su sve bočne ivice piramide jednake jedna drugoj.
Odnos između piramide i cilindra
Piramida se naziva upisanom u cilindar ako vrh piramide leži na jednoj osnovi cilindra, a osnova piramide upisana je u drugu bazu cilindra.
Cilindar se može opisati oko piramide ako se može opisati krug oko baze piramide.
Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest ivica, pri čemu bilo koje dvije ivice nemaju zajedničke vrhove ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i ivica koje se formiraju trouglasti ugao.
Segment koji povezuje vrh tetraedra sa centrom suprotnog lica naziva se medijana tetraedra(GM).
Bimedian naziva se segment koji povezuje sredine suprotnih ivica koje se ne dodiruju (KL).
Svi bimedijani i medijani tetraedra seku se u jednoj tački (S). U ovom slučaju, bimedijane su podijeljene na pola, a medijane su podijeljene u omjeru 3:1 počevši od vrha.
Definicija. Piramida sa oštrim uglom- piramida u kojoj je apotema više od polovine dužine stranice osnove.
Definicija. Tupa piramida- piramida u kojoj je apotema manja od polovine dužine stranice baze.
Definicija. Regularni tetraedar- tetraedar u kojem su sva četiri lica jednakostranični trouglovi. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru, svi diedarski uglovi (između lica) i triedarski uglovi (na vrhu) su jednaki.
Definicija. Pravougaoni tetraedar naziva se tetraedar u kojem postoji pravi ugao između tri ivice na vrhu (ivice su okomite). Formiraju se tri lica pravougaoni trougaoni ugao a lica su pravougli trougao, a osnova je proizvoljan trougao. Apotema bilo kojeg lica jednaka je polovini stranice baze na koju apotema pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar naziva se tetraedar čije su stranice jednake jedna drugoj, a osnova je pravilan trougao. Takav tetraedar ima lica koja su jednakokraki trouglovi.
Definicija. Ortocentrični tetraedar naziva se tetraedar u kojem se sve visine (okomice) koje se spuštaju od vrha do suprotne strane sijeku u jednoj tački.
Definicija. Zvezdana piramida naziva se poliedar čija je osnova zvezda.
