Istorija matematike. Matematička analiza i njena uloga u savremenom svetu Početak moderne matematike

Slajd 2

Matematička analiza je skup grana matematike posvećenih proučavanju funkcija i njihovih generalizacija metodama diferencijalnog i integralnog računa.

Slajd 3

Metoda iscrpljivanja

Drevna metoda za proučavanje površine ili volumena zakrivljenih figura.

Slajd 4

Metoda je bila sljedeća: da bi se pronašla površina (ili zapremina) određene figure, monotoni niz drugih figura je uklopljen u ovu figuru i dokazano je da se njihove površine (volumen) neograničeno približavaju površini (volumenu) željenog. figure.

Slajd 5

Godine 1696. L'Hopital je napisao prvi udžbenik, postavljajući novu metodu primijenjenu na teoriju ravnih krivih. Nazvao ju je Analiza infinitezimala, dajući tako jedno od imena novoj grani matematike. U uvodu L'Hopital iznosi istoriju nastanka nove analize, osvrćući se na dela Descartesa, Huygensa, Leibniza, a takođe izražava zahvalnost ovom poslednjem i braći Bernuli.

Slajd 6

Termin “funkcija” se prvi put pojavljuje tek 1692. godine u Leibnizu, ali ga je Euler doveo u prvi plan. Prvobitno tumačenje koncepta funkcije bilo je da je funkcija izraz za brojanje ili analitički izraz.

Slajd 7

“Teorija analitičkih funkcija” (“Th.orie des fonctions analytiques”, 1797). U Teoriji analitičkih funkcija, Lagrange iznosi svoju čuvenu interpolacionu formulu, koja je inspirisala Cauchyja da razvije rigorozne osnove za analizu.

Slajd 8

Fermatova važna lema može se naći u udžbenicima za račun. On je takođe formulisao opšti zakon diferencijacije razlomaka.

Pierre de Fermat (17. avgust 1601 - 12. januar 1665) je bio francuski matematičar, jedan od tvoraca analitičke geometrije, matematičke analize, teorije verovatnoće i teorije brojeva. Fermat je, koristeći gotovo moderna pravila, pronašao tangente na algebarske krive.

Slajd 9

Rene Descartes (31. mart 1596 - 11. februar 1650) - francuski matematičar, filozof, fizičar i fiziolog, tvorac analitičke geometrije i modernog algebarskog simbolizma. Godine 1637. objavljeno je Descartesovo glavno matematičko djelo Rasprava o metodi.Ova knjiga predstavlja analitičku geometriju, au njenim prilozima brojne rezultate iz algebre, geometrije, optike i još mnogo toga. Posebno se ističe matematička simbolika Viete koju je preradio: uveo je sada opšteprihvaćene znakove za varijable i tražene veličine (x, y, z, ...) i za slovne koeficijente. (a, b, c, ...)

Slajd 10

François Viête (1540 -1603) - francuski matematičar, osnivač simboličke algebre. Po obrazovanju i osnovnoj struci - pravnik. Godine 1591. uveo je slovno označavanje ne samo za nepoznate veličine, već i za koeficijente jednačina.Zaslužan je za uspostavljanje jedinstvene metode za rješavanje jednačina 2., 3. i 4. stepena. Među otkrićima, Viète je posebno visoko cijenio uspostavljanje odnosa između korijena i koeficijenata jednačina.

Slajd 11

GalileoGalilei (15. februar 1564, Piza - 8. januar 1642) - italijanski fizičar, mehaničar, astronom, filozof i matematičar, koji je imao značajan uticaj na nauku svog vremena Formulisao "Galilejev paradoks": ima isto toliko prirodnih brojeva jer postoje njihovi kvadrati, iako većina brojeva nisu kvadrati. To je podstaklo daljnja istraživanja prirode beskonačnih skupova i njihove klasifikacije; Proces je završio stvaranjem teorije skupova.

Slajd 12

"Nova stereometrija vinskih buradi"

Kada je Kepler kupio vino, bio je zadivljen kako je trgovac odredio kapacitet bačve. Prodavac je uzeo štapić u podjele i uz njegovu pomoć odredio udaljenost od rupe za punjenje do najudaljenije točke bureta. Učinivši to, odmah je rekao koliko litara vina ima u datoj bačvi. Tako je naučnik prvi skrenuo pažnju na klasu problema čije je proučavanje dovelo do stvaranja integralnog računa.

Slajd 13

Tako je, na primjer, da bi pronašao formulu za volumen torusa, Kepler ga je podijelio meridijanskim dijelovima na beskonačan broj krugova čija je debljina s vanjske strane bila nešto veća nego iznutra. Zapremina takvog kruga jednaka je zapremini cilindra čija je baza jednaka poprečnom presjeku torusa i visina jednaka debljini kruga u njegovom srednjem dijelu. Odavde se odmah pokazalo da je zapremina torusa jednaka zapremini cilindra, čija je površina osnove jednaka površini poprečnog preseka torusa, a visina jednaka dužini kruga, koji je opisan točkom F - središtem poprečnog presjeka torusa.

Slajd 14

Nedjeljiva metoda

Teorijsko opravdanje za novu metodu pronalaženja površina i volumena predložio je 1635. Cavalieri. On je postavio sljedeću tezu: figure su međusobno povezane kao sve njihove prave, uzete prema bilo kojoj regularnoj [bazi paralela], a tijela - kao sve njihove ravni, uzete prema bilo kojoj regularnoj.

Slajd 15

Na primjer, izračunajmo površinu kruga. Formula za obim: smatra se poznatom. Podijelimo krug (lijevo na sl. 1) na beskonačno male prstenove. Razmotrimo i trougao (desno na sl. 1) sa dužinom osnove L i visinom R, koji je takođe podeljen na preseke paralelne osnovici. Svaki prsten radijusa R i dužine može biti povezan sa jednim od preseka trougla iste dužine. Tada su, prema Cavalierijevom principu, njihove površine jednake. A površinu trokuta je lako pronaći: .

Slajd 16

Radio na prezentaciji:

Zharkov Alexander Kiseleva Marina Ryasov Mikhail Cherednichenko Alina

Pogledajte sve slajdove

Filozofija se smatra fokusom svih nauka, jer je uključivala prve klice književnosti, astronomije, književnosti, prirodnih nauka, matematike i drugih oblasti. Vremenom se svaka oblast razvijala nezavisno, matematika nije bila izuzetak. Prvi „nagovještaj“ analize smatra se teorijom dekompozicije na beskonačno male veličine, kojoj su mnogi umovi pokušavali pristupiti, ali je bila nejasna i bez osnova. To je zbog privrženosti staroj školi nauke, koja je bila stroga u svojim formulacijama. Isaac Newton je bio vrlo blizu formiranju temelja, ali je bio prekasno. Kao rezultat toga, matematička analiza svoj nastanak kao poseban sistem duguje filozofu Gottfriedu Leibnizu. Upravo je on uveo u znanstveni svijet koncepte kao što su minimum i maksimum, tačke pregiba i konveksnost grafa funkcije, te formulirao osnove diferencijalnog računa. Od ovog trenutka matematika se zvanično dijeli na osnovnu i višu.

Matematička analiza. Naši dani

Bilo koja specijalnost, bila ona tehnička ili humanitarna, uključuje analizu u toku studija. Dubina proučavanja varira, ali suština ostaje ista. Uprkos svoj „apstraktnosti“, to je jedan od stubova na kojima počiva prirodna nauka u svom modernom shvatanju. Uz njegovu pomoć, razvijenu fiziku i ekonomiju, u stanju je da opiše i predvidi aktivnosti berze, te pomogne u izgradnji optimalnog portfelja dionica. Uvod u matematičku analizu zasniva se na elementarnim konceptima:

• mnoštvo;
• osnovne operacije nad skupovima;
• svojstva operacija nad skupovima;
• funkcije (inače poznate kao preslikavanja);
• vrste funkcija;
• sekvence;
• brojevne linije;
• granica sekvence;
• svojstva granica;
• kontinuitet funkcije.

Vrijedi posebno istaknuti koncepte kao što su skup, tačka, prava linija, ravan. Svi oni nemaju definicije, jer su oni osnovni koncepti na kojima se gradi sva matematika. Sve što se u tom procesu može učiniti je objasniti šta tačno znače u pojedinačnim slučajevima.

Limit kao nastavak

Osnove matematičke analize uključuju ograničenje. U praksi, on predstavlja vrijednost kojoj sekvenca ili funkcija teži, približava se koliko god želite, ali je ne dostiže. Označava se kao lim; razmotrite poseban slučaj granice funkcije: lim (x-1)= 0 za x→1. Iz ovog najjednostavnijeg primjera jasno je da kao x→1 cijela funkcija teži 0, jer ako zamenimo granicu u samu funkciju, dobijamo (1-1)=0. Detaljnije informacije, od elementarnih do složenih posebnih slučajeva, predstavljene su u svojevrsnoj „Bibliji“ analize – radovima Fihtenholca. Ispituje matematičku analizu, granice, njihovo izvođenje i dalju primjenu. Na primjer, izvođenje broja e (Eulerova konstanta) bilo bi nemoguće bez teorije granica. Uprkos dinamičnoj apstraktnosti teorije, granice se aktivno koriste u praksi u ekonomiji i sociologiji. Na primjer, ne možete bez njih pri obračunu kamate na bankovni depozit.

Uvod

L. Euler je najproduktivniji matematičar u istoriji, autor više od 800 radova o matematičkoj analizi, diferencijalnoj geometriji, teoriji brojeva, približnim proračunima, nebeskoj mehanici, matematičkoj fizici, optici, balistici, brodogradnji, teoriji muzike itd. njegovi radovi su značajno uticali na razvoj nauke.

Ojler je skoro pola svog života proveo u Rusiji, gde je energično pomogao u stvaranju ruske nauke. Godine 1726. pozvan je da radi u Sankt Peterburgu. Od 1731-1741, a od 1766. bio je akademik Petrogradske akademije nauka (1741-1766 radio je u Berlinu, ostajući počasni član Petrogradske akademije). Dobro je poznavao ruski jezik i neke svoje radove (posebno udžbenike) objavio je na ruskom. Prvi ruski akademici matematike (S.K. Kotelnikov) i astronomije (S.Ya. Rumovsky) bili su Ojlerovi učenici. Neki od njegovih potomaka i dalje žive u Rusiji.

L. Euler je dao veoma veliki doprinos razvoju matematičke analize.

Svrha eseja je proučavanje istorije razvoja matematičke analize u 18. veku.

Koncept matematičke analize. Istorijska skica

Matematička analiza je skup grana matematike posvećenih proučavanju funkcija i njihovih generalizacija metodama diferencijalnog i integralnog računa. Uz takvo generalno tumačenje, analiza bi trebala uključivati ​​i funkcionalnu analizu zajedno sa teorijom Lebesgueovog integrala, kompleksne analize (TFCA), koja proučava funkcije definirane na kompleksnoj ravni, nestandardnu ​​analizu, koja proučava beskonačno male i beskonačno velike brojeve, kao npr. kao i račun varijacija.

U obrazovni proces analiza uključuje

· diferencijalni i integralni račun

· teorija redova (funkcionalnih, potencijskih i Fourierovih) i višedimenzionalnih integrala

· vektorska analiza.

Istovremeno, opciono se daju elementi funkcionalne analize i teorija Lebesgueovog integrala, a TFKP, varijacijski račun i teorija diferencijalnih jednačina predaju se u posebnim predmetima. Strogost prezentacije prati obrasce s kraja 19. stoljeća i posebno koristi naivnu teoriju skupova.

Prethodnici matematičke analize bili su drevna metoda iscrpljivanja i metoda nedjeljivih. Sva tri pravca, uključujući analizu, povezana su zajedničkom početnom idejom: dekompozicijom na beskonačno male elemente, čija je priroda, međutim, bila prilično nejasna za autore ideje. Algebarski pristup (infinitezimalni račun) počinje da se javlja kod Wallisa, Jamesa Gregoryja i Barrowa. Novi račun kao sistem u potpunosti je kreirao Newton, koji, međutim, dugo nije objavljivao svoja otkrića. Newton I. Matematički radovi. M, 1937.

Službenim datumom rođenja diferencijalnog računa može se smatrati maj 1684., kada je Leibniz objavio prvi članak “Nova metoda maksimuma i minimuma...” Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., vol. V, str. 220--226. Rus. Transl.: Uspekhi Mat. Nauke, tom 3, v. 1 (23), str. 166--173.. Ovaj članak, u sažetom i nepristupačnom obliku, iznosi principe nove metode zvane diferencijalni račun.

Krajem 17. vijeka oko Lajbnica je nastao krug čiji su najistaknutiji predstavnici bili braća Bernuli, Jacob i Johann, i L'Hopital. Godine 1696, koristeći predavanja I. Bernoullija, L'Hopital je napisao prvi L'Hopital udžbenik. Analiza infinitezimala. M.-L.: GTTI, 1935., koji je prikazao novu metodu primijenjenu na teoriju ravnih krivulja. Nazvao ju je "Infinitezimalna analiza", čime je dao jedno od imena novoj grani matematike. Prezentacija se zasniva na konceptu varijabilnih veličina, između kojih postoji neka veza, zbog čega promjena jedne povlači promjenu u drugoj. U L'Hôpitalu je ova veza data pomoću ravninskih krivulja: ako je M pokretna točka ravninske krive, tada su njene kartezijanske koordinate x i y, koje se nazivaju prečnik i ordinata krive, varijable, a promjena x podrazumijeva promjena u y. Koncept funkcije je odsutan: želeći da kaže da je zavisnost varijabli data, L'Hopital kaže da je "priroda krive poznata." Koncept diferencijala se uvodi na sljedeći način:

„Infinitezimalni dio za koji se promjenljiva veličina kontinuirano povećava ili smanjuje naziva se njezin diferencijal... Da bismo označili diferencijal promjenljive veličine, koji je i sam izražen jednim slovom, koristit ćemo znak ili simbol d. Tamo. Poglavlje 1, definicija 2http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8 %D1 %87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 - cite_note -4 #cite_note-4 ... Infinitezimalni dio za koji se diferencijal vrijednosti varijable kontinuirano povećava ili smanjuje naziva se ... drugi diferencijal." Tamo. Poglavlje 4, definicija 1.

Ove definicije su objašnjene geometrijski, sa beskonačno malim inkrementima koji su prikazani kao konačni na slici. Razmatranje se zasniva na dva zahtjeva (aksioma). prvo:

Zahteva se da se dve veličine koje se razlikuju jedna od druge samo za beskonačno mali iznos mogu ravnodušno uzeti jednu umesto druge. L'Hopital. Analiza infinitezimala. M.-L.: GTTI, 1935. Poglavlje 1, zahtjev 1.

dxy = (x + dx)(y + dy) ? xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

i tako dalje. pravila diferencijacije. Drugi uslov glasi:

Zahtijeva se da se kriva linija može smatrati zbirkom beskonačnog broja infinitezimalnih pravih linija.

Nastavak svake takve linije naziva se tangenta na krivulju. Tamo. Poglavlje 2. def. Istražujući tangentu koja prolazi kroz tačku M = (x,y), L'Hopital pridaje veliki značaj veličini

dostižući ekstremne vrijednosti na tačkama pregiba krive, ali se omjeru dy i dx ne pridaje poseban značaj.

Važno je pronaći ekstremne tačke. Ako, uz kontinuirano povećanje promjera x, ordinata y prvo raste, a zatim opada, tada je diferencijal dy prvo pozitivan u odnosu na dx, a zatim negativan.

Ali bilo koja kontinuirano rastuća ili opadajuća vrijednost ne može se pretvoriti iz pozitivne u negativnu bez prolaska kroz beskonačnost ili nulu... Iz toga slijedi da razlika najveće i najmanje vrijednosti mora biti jednaka nuli ili beskonačnosti.

Ova formulacija vjerovatno nije besprijekorna, ako se sjetimo prvog zahtjeva: neka je, recimo, y = x2, onda na osnovu prvog zahtjeva

2xdx + dx2 = 2xdx;

na nuli, desna strana je nula, a lijeva strana nije. Očigledno je trebalo reći da se dy može transformirati u skladu s prvim zahtjevom tako da je u maksimalnoj tački dy = 0. U primjerima je sve samo po sebi razumljivo, a samo u teoriji pregibnih tačaka L'Hopital piše da je dy jednaka je nuli u tački maksimuma, podijeljena sa dx L'Hopital. Analiza infinitezimala. M.-L.: GTTI, 1935 § 46.

Dalje, samo uz pomoć diferencijala, formulišu se ekstremni uslovi i razmatra veliki broj složenih problema vezanih uglavnom za diferencijalnu geometriju na ravni. Na kraju knjige, u pogl. 10, iznosi ono što se danas zove L'Hopitalovo pravilo, iako u neobičnom obliku. Neka se ordinata y krive izrazi kao razlomak čiji brojnik i imenilac nestaju na x = a. Tada tačka krive sa x = a ima ordinatu y jednaku omjeru diferencijala brojnika i diferencijala nazivnika uzetog pri x = a.

Prema L'Hopitalovom planu, ono što je napisao činilo je prvi dio "Analize", dok je drugi trebao sadržavati integralni račun, odnosno metodu pronalaženja veze između varijabli na osnovu poznate veze njihovih diferencijala. Njegovo prvo predstavljanje dao je Johann Bernoulli u svojim “Matematičkim predavanjima o metodi integrala” Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914. Ovdje je data metoda za uzimanje većine elementarnih integrala i naznačene su metode za rješavanje mnogih diferencijalnih jednačina prvog reda.

arapski bugarski kineski hrvatski češki danski nizozemski engleski estonski finski francuski njemački grčki hebrejski hindi mađarski islandski indonezijski talijanski japanski korejski latvijski litvanski malgaški norveški perzijski poljski portugalski rumunjski ruski srpski slovački slovenski španjolski švedski tajlandski turski vijetnamski

definicija - Matematička_analiza

U obrazovnom procesu analiza uključuje:

Istovremeno, opciono se daju elementi funkcionalne analize i teorija Lebesgueovog integrala, a TFKP, varijacijski račun i teorija diferencijalnih jednačina predaju se u posebnim predmetima. Strogost prezentacije prati obrasce s kraja 19. stoljeća i posebno koristi naivnu teoriju skupova.

Program kursa analize koji se predaje na univerzitetima u Ruskoj Federaciji približno odgovara programu angloameričkog kursa „Račun“.

Priča

Prethodnici matematičke analize bili su drevna metoda iscrpljivanja i metoda nedjeljivih. Sva tri pravca, uključujući analizu, povezana su zajedničkom početnom idejom: dekompozicijom na beskonačno male elemente, čija se priroda, međutim, autorima ideje činila prilično nejasnom. algebarski pristup ( infinitezimalni račun) počinje da se pojavljuje u Wallis, James Gregory i Barrow. Novi račun kao sistem u potpunosti je kreirao Newton, koji, međutim, dugo nije objavljivao svoja otkrića.

Zvaničnim datumom rođenja diferencijalnog računa može se smatrati maj, kada je Leibniz objavio svoj prvi članak "Nova metoda uspona i padova...". Ovaj članak, u sažetom i nepristupačnom obliku, iznosi principe nove metode zvane diferencijalni račun.

Leibniza i njegovih učenika

Ove definicije su objašnjene geometrijski, dok na Sl. beskonačno mali priraštaji su prikazani kao konačni. Razmatranje se zasniva na dva zahtjeva (aksioma). prvo:

Zahteva se da se dve veličine koje se razlikuju jedna od druge samo za beskonačno mali iznos mogu uzeti [prilikom pojednostavljivanja izraza?] ravnodušno jednu umesto druge.

Nastavak svake takve linije naziva se tangenta na krivulju. Istražujući tangentu koja prolazi kroz tačku, L'Hopital pridaje veliku važnost količini

,

dostizanje ekstremnih vrijednosti u tačkama pregiba krive, dok se odnosu na ne pridaje poseban značaj.

Važno je pronaći ekstremne tačke. Ako, uz kontinuirano povećanje promjera, ordinata prvo raste, a zatim opada, tada je diferencijal prvo pozitivan u odnosu na , a zatim negativan.

Ali bilo koja kontinuirano rastuća ili opadajuća vrijednost ne može se pretvoriti iz pozitivne u negativnu bez prolaska kroz beskonačnost ili nulu... Iz toga slijedi da razlika najveće i najmanje vrijednosti mora biti jednaka nuli ili beskonačnosti.

Ova formulacija vjerovatno nije besprijekorna, ako se sjetimo prvog zahtjeva: neka, recimo, , onda na osnovu prvog zahtjeva

;

na nuli, desna strana je nula, a lijeva strana nije. Očigledno je trebalo reći da se može transformisati u skladu sa prvim zahtjevom tako da na maksimalnoj tački . . U primjerima je sve samo po sebi razumljivo, a samo u teoriji prevojnih tačaka L'Hopital piše da je jednako nuli u tački maksimuma, podijeljeno sa .

Dalje, samo uz pomoć diferencijala, formulišu se ekstremni uslovi i razmatra veliki broj složenih problema vezanih uglavnom za diferencijalnu geometriju na ravni. Na kraju knjige, u pogl. 10, iznosi ono što se danas zove L'Hopitalovo pravilo, iako u neobičnom obliku. Neka se ordinata krive izrazi kao razlomak, čiji brojnik i nazivnik nestaju na . Tada tačka krive c ima ordinatu jednaku omjeru diferencijala brojnika i diferencijala nazivnika uzetog na .

Prema L'Hôpitalovom planu, ono što je napisao činilo je prvi dio Analize, dok je drugi trebao sadržavati integralni račun, odnosno metodu pronalaženja veze između varijabli na osnovu poznate veze njihovih diferencijala. Njegovo prvo predstavljanje dao je Johann Bernoulli u svojoj Matematička predavanja o integralnoj metodi. Ovdje je data metoda za uzimanje većine elementarnih integrala i naznačene metode za rješavanje mnogih diferencijalnih jednačina prvog reda.

Ukazujući na praktičnu korisnost i jednostavnost nove metode, Leibniz je napisao:

Ono što osoba upućena u ovu računicu može dobiti direktno u tri reda, drugi učeni ljudi bili su primorani da traže prateći složene zaobilaznice.

Euler

Promene koje su se desile tokom narednih pola veka ogledaju se u Ojlerovoj opsežnoj raspravi. Prezentaciju analize otvara dvotomni “Uvod”, koji sadrži istraživanja o različitim prikazima elementarnih funkcija. Termin „funkcija“ se prvi put pojavljuje samo kod Lajbnica, ali ga je Ojler stavio na prvo mesto. Prvobitno tumačenje koncepta funkcije bilo je da je funkcija izraz za brojanje (njem. Rechnungsausdrϋck) ili analitički izraz.

Funkcija varijabilne količine je analitički izraz sastavljen na neki način od ove promjenljive količine i brojeva ili konstantnih veličina.

Naglašavajući da „glavna razlika između funkcija leži u načinu na koji su sastavljene od promenljivih i konstantnih“, Ojler navodi radnje „kroz koje se veličine mogu kombinovati i mešati jedna s drugom; ove radnje su: sabiranje i oduzimanje, množenje i dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena; Ovo bi također trebalo uključivati ​​rješenje [algebarskih] jednačina. Pored ovih operacija, koje se nazivaju algebarskim, postoje mnoge druge, transcendentalne, kao što su: eksponencijalne, logaritamske i bezbroj drugih, koje se isporučuju integralnim računom.” Ovo tumačenje je omogućilo jednostavno rukovanje viševrijednim funkcijama i nije zahtijevalo objašnjenje nad kojim poljem se funkcija razmatra: izraz za brojanje je definiran za složene vrijednosti varijabli čak i kada to nije bilo potrebno za problem pod razmatranje.

Operacije u izrazu bile su dozvoljene samo u konačnim brojevima, a transcendentalno je prodiralo uz pomoć beskonačno velikog broja. U izrazima se ovaj broj koristi zajedno s prirodnim brojevima. Na primjer, takav izraz za eksponent se smatra prihvatljivim

,

u kojoj su tek kasniji autori vidjeli krajnju tranziciju. Urađene su različite transformacije sa analitičkim izrazima, što je omogućilo Euleru da pronađe reprezentacije za elementarne funkcije u obliku nizova, beskonačnih proizvoda, itd. funkcija u tački za svaku od napisanih formula.

Za razliku od L'Hopitala, Euler detaljno ispituje transcendentalne funkcije, a posebno njihove dvije najproučavanije klase - eksponencijalnu i trigonometrijsku. On otkriva da se sve elementarne funkcije mogu izraziti pomoću aritmetičkih operacija i dvije operacije - uzimajući logaritam i eksponent.

Sam dokaz savršeno pokazuje tehniku ​​korištenja beskonačno velikog. Definirajući sinus i kosinus pomoću trigonometrijskog kruga, Euler je iz formula za sabiranje izveo sljedeće:

Uz pretpostavku i , on dobiva

,

odbacivanje beskonačno malih količina višeg reda. Koristeći ovaj i sličan izraz, Ojler je dobio svoju čuvenu formulu

.

Nakon što je naznačio različite izraze za funkcije koje se sada nazivaju elementarnim, Euler prelazi na razmatranje krivulja na ravni povučenoj slobodnim kretanjem ruke. Prema njegovom mišljenju, nije moguće pronaći jedinstveni analitički izraz za svaku takvu krivu (vidi i Spor o strunama). U 19. stoljeću, na poticaj Casoratija, ova izjava je smatrana pogrešnom: prema Weierstrassovoj teoremi, svaka kontinuirana kriva u modernom smislu može se približno opisati polinomima. U stvari, Ojlera to nije uvjerilo, jer je još uvijek trebao prepisati odlomak do krajnjih granica koristeći simbol.

Ojler započinje svoje izlaganje diferencijalnog računa teorijom konačnih razlika, nakon čega u trećem poglavlju slijedi filozofsko objašnjenje da je „beskonačno mala veličina upravo nula“, što najviše nije odgovaralo Ojlerovim savremenicima. Zatim, diferencijali se formiraju iz konačnih razlika na beskonačno malom inkrementu, i iz Newtonove interpolacijske formule - Taylorove formule. Ova metoda u suštini seže do Taylora (1715). U ovom slučaju, Euler ima stabilnu relaciju, koja se, međutim, smatra relacijom dvije infinitezimale. Posljednja poglavlja posvećena su približnom proračunu pomoću serija.

U trovolumenskom integralnom računu, Euler tumači i uvodi koncept integrala na sljedeći način:

Funkcija čiji se diferencijal naziva njenim integralom i označava se predznakom.

Općenito, ovaj dio Eulerove rasprave posvećen je općenitijem, sa moderne tačke gledišta, problemu integracije diferencijalnih jednačina. Istovremeno, Euler pronalazi niz integrala i diferencijalnih jednadžbi koje dovode do novih funkcija, na primjer, -funkcija, eliptičkih funkcija itd. od Liouvillea (vidi elementarne funkcije).

Lagrange

Sljedeći veliki rad koji je odigrao značajnu ulogu u razvoju koncepta analize bio je Teorija analitičkih funkcija Lagrangeovo i Lacroixovo opsežno prepričavanje Lagrangeovog djela na pomalo eklektičan način.

Želeći da se potpuno riješi beskonačno malog, Lagrange je obrnuo vezu između derivata i Taylorovog reda. Pod analitičkom funkcijom Lagrange je shvatio proizvoljnu funkciju proučavanu analitičkim metodama. On je samu funkciju označio kao , dajući grafički način za pisanje zavisnosti - ranije se Euler snalazio samo sa varijablama. Za primjenu metoda analize, prema Lagrangeu, potrebno je da se funkcija proširi u niz

,

čiji će koeficijenti biti nove funkcije. Ostaje da ga nazovemo derivacijom (diferencijalni koeficijent) i označimo kao . Dakle, koncept derivata je uveden na drugoj stranici rasprave i to bez pomoći infinitezimima. Ostaje da se istakne da

,

stoga je koeficijent dvostruko veći od derivata, tj

itd.

Ovaj pristup tumačenju koncepta derivacije koristi se u modernoj algebri i poslužio je kao osnova za stvaranje Weierstrassove teorije analitičkih funkcija.

Lagrange je operisao takvim nizovima kao što su formalni i dobio niz izvanrednih teorema. Konkretno, po prvi put i prilično rigorozno dokazao je rješivost početnog problema za obične diferencijalne jednadžbe u formalnim redovima stepena.

Pitanje procjene tačnosti aproksimacija koje daju parcijalni zbir Taylorovog niza prvi je postavio Lagrange: na kraju Teorije analitičkih funkcija izveo je ono što se danas zove Taylorova formula sa ostatkom u Lagrangeovom obliku. Međutim, za razliku od modernih autora, Lagrange nije vidio potrebu da koristi ovaj rezultat da bi opravdao konvergenciju Taylorovog reda.

Pitanje da li se funkcije koje se koriste u analizi zaista mogu proširiti u niz stepena kasnije je postalo predmet debate. Naravno, Lagrange je znao da se u nekim tačkama elementarne funkcije možda ne mogu proširiti u niz stepena, ali u tim tačkama one nisu diferencibilne ni u kom smislu. Cauchy u njegovom Algebarska analiza citirao je funkciju kao protuprimjer

produženo za nulu na nuli. Ova funkcija je glatka svuda na realnoj osi i na nuli ima nulti Maclaurinov niz, koji, dakle, ne konvergira na vrijednost . Protiv ovog primjera, Poisson je prigovorio da je Lagrange definirao funkciju kao jedan analitički izraz, dok je u Cauchyjevom primjeru funkcija različito definirana na nuli i na . Tek krajem 19. stoljeća Pringsheim je dokazao da postoji beskonačno diferencibilna funkcija, data jednim izrazom, za koju se Maclaurinov red divergira. Primjer takve funkcije je izraz

.

Dalji razvoj

U posljednjoj trećini 19. stoljeća, Weierstrass je aritmetizirao analizu, smatrajući da je geometrijsko opravdanje nedovoljno, i predložio klasičnu definiciju granice kroz ε-δ jezik. Također je stvorio prvu rigoroznu teoriju skupa realnih brojeva. Istovremeno, pokušaji da se poboljša Riemannova teorema integrabilnosti doveli su do stvaranja klasifikacije diskontinuiteta realnih funkcija. Otkriveni su i “patološki” primjeri (kontinuirane funkcije koje se nigdje ne mogu razlikovati, krive koje ispunjavaju prostor). S tim u vezi, Jordan je razvio teoriju mjere, a Cantor teoriju skupova, a početkom 20. stoljeća uz njihovu pomoć formalizirana je matematička analiza. Drugi važan razvoj 20. vijeka bio je razvoj nestandardne analize kao alternativnog pristupa analizi opravdavanja.

Sekcije matematičke analize

vidi takođe

Bibliografija

Enciklopedijski članci

Obrazovna literatura

Standardni udžbenici

Već dugi niz godina u Rusiji su popularni sljedeći udžbenici:

Neki univerziteti imaju svoje vlastite vodiče za analizu:

• Matematika na tehničkom univerzitetu Zbirka udžbenika u 21 tom.

• Bogdanov Yu. S. Predavanja iz matematičke analize (u dva dijela). - Minsk: BSU, 1974. - 357 str.

Napredni udžbenici

udžbenici:

• Rudin U. Osnove matematičke analize. M., 1976 - mala knjiga, napisana vrlo jasno i sažeto.

Problemi povećane težine:

• G. Polia, G. Szege, Problemi i teoreme iz analize.

Istorija matematičke analize

18. vijek se često naziva stoljećem naučne revolucije, koja je odredila razvoj društva do današnjih dana. Ova revolucija se zasnivala na izvanrednim matematičkim otkrićima napravljenim u 17. veku i nadograđenim u sledećem veku. „Ne postoji nijedan predmet u materijalnom svetu i nijedna misao u domenu duha na koju ne bi bio pogođen uticaj naučne revolucije 18. veka. Nijedan element moderne civilizacije ne bi mogao postojati bez principa mehanike, bez analitičke geometrije i diferencijalnog računa. Ne postoji niti jedna grana ljudske djelatnosti na koju nije snažno utjecao genij Galilea, Descartesa, Newtona i Leibniza.” Ove riječi francuskog matematičara E. Borela (1871 - 1956), koje je izgovorio 1914. godine, ostaju relevantne i u naše vrijeme. Mnogi veliki naučnici dali su doprinos razvoju matematičke analize: I. Kepler (1571 -1630), R. Descartes (1596 -1650), P. Fermat (1601 -1665), B. Pascal (1623 -1662), H. Huygens (1629 -1695), I. Barrow (1630 -1677), braća J. Bernoulli (1654 -1705) i I. Bernoulli (1667 -1748) i drugi.

Inovacija ovih poznatih ličnosti u razumijevanju i opisivanju svijeta oko nas:

kretanje, promjena i promjenjivost (život je ušao svojom dinamikom i razvojem);

statistički glumci i jednokratne fotografije njenog stanja.

Matematička otkrića 17. i 17. stoljeća definirana su korištenjem pojmova kao što su varijabla i funkcija, koordinate, graf, vektor, izvod, integral, serija i diferencijalna jednačina.

Pascal, Descartes i Leibniz nisu bili toliko matematičari koliko filozofi. Univerzalni ljudski i filozofski smisao njihovih matematičkih otkrića sada predstavlja glavnu vrijednost i neophodan je element opće kulture.

I ozbiljna filozofija i ozbiljna matematika ne mogu se razumjeti bez ovladavanja odgovarajućim jezikom. Newton, u pismu Leibnizu o rješavanju diferencijalnih jednačina, izlaže svoju metodu na sljedeći način: 5accdae10effh 12i…rrrssssttuu.