Vzorec pro délku většího oblouku kružnice. Zjištění obvodu a plochy kruhu

Videokurz „Get an A“ obsahuje všechna témata potřebná k úspěšnému složení jednotné státní zkoušky z matematiky s 60-65 body. Kompletně všechny úkoly 1-13 Profilové jednotné státní zkoušky z matematiky. Vhodné i pro složení Základní jednotné státní zkoušky z matematiky. Pokud chcete složit jednotnou státní zkoušku s 90-100 body, musíte část 1 vyřešit za 30 minut a bezchybně!

Přípravný kurz k jednotné státní zkoušce pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části jednotné státní zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je více než 70 bodů na Jednotnou státní zkoušku a bez nich se neobejde ani stobodový student, ani student humanitních oborů.

Všechny potřebné teorie. Rychlá řešení, úskalí a tajemství jednotné státní zkoušky. Byly analyzovány všechny aktuální úkoly části 1 z FIPI Task Bank. Kurz plně odpovídá požadavkům jednotné státní zkoušky 2018.

Kurz obsahuje 5 velkých témat, každé 2,5 hodiny. Každé téma je podáno od začátku, jednoduše a jasně.

Stovky úkolů jednotné státní zkoušky. Slovní úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy pro řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů úkolů jednotné státní zkoušky. Stereometrie. Záludná řešení, užitečné cheat sheets, rozvoj prostorové představivosti. Trigonometrie od nuly k problému 13. Porozumění místo nacpávání. Jasné vysvětlení složitých pojmů. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkce a derivace. Podklad pro řešení složitých problémů 2. části jednotné státní zkoušky.

Obvod nazývaná uzavřená rovinná křivka, jejíž všechny body ležící ve stejné rovině jsou umístěny ve stejné vzdálenosti od středu.

Tečka O je středem kruhu, R je poloměr kružnice - vzdálenost od kteréhokoli bodu na kružnici do středu. Podle definice jsou všechny poloměry uzavřené

rýže. 1

křivky mají stejnou délku.

Vzdálenost mezi dvěma body na kružnici se nazývá tětiva. Úsek kruhu procházející jeho středem a spojující dva jeho body se nazývá průměr. Středem průměru je střed kruhu. Body na kružnici rozdělují uzavřenou křivku na dvě části, každá část se nazývá kruhový oblouk. Pokud konce oblouku patří k průměru, pak se takový kruh nazývá půlkruh, jehož délka se obvykle označuje π . Míra stupňů dvou kruhů, které mají společné konce, je 360 ​​stupňů.

Soustředné kruhy jsou kruhy, které mají společný střed. Ortogonální kružnice jsou kružnice, které se protínají pod úhlem 90 stupňů.

Rovina uzavřená kružnicí se nazývá kružnice. Jedna část kružnice, která je omezena dvěma poloměry a obloukem, je kruhový sektor. Sektorový oblouk je oblouk, který ohraničuje sektor.

Rýže. 2

Vzájemná poloha kružnice a přímky (obr. 2).

Kružnice a přímka mají dva společné body, pokud je vzdálenost od přímky ke středu kružnice menší než poloměr kružnice. V tomto případě se přímka ve vztahu ke kružnici nazývá sečna.

Kružnice a přímka mají jeden společný bod, pokud je vzdálenost od přímky ke středu kružnice rovna poloměru kružnice. V tomto případě se přímka ve vztahu ke kružnici nazývá tečnou ke kružnici. Jejich společný bod se nazývá tečný bod kružnice a přímky.

Základní kruhové vzorce:

• C = 2πR , Kde C - obvod
• R = С/(2π) = D/2 , Kde С/(2π) — délka oblouku kruhu
• D = C/n = 2R , Kde D - průměr
• S = πR2 , Kde S - oblast kruhu
• S = ((nR2)/360)a , Kde S — oblast kruhového sektoru

Obvod a kruh dostaly své jméno ve starověkém Řecku. Již v dávných dobách se lidé zajímali o kulatá těla, a tak se kruh stal korunou dokonalosti. Skutečnost, že se kulaté tělo mohlo samo pohybovat, bylo impulsem k vynálezu kola. Zdálo by se, co je na tomto vynálezu zvláštního? Ale představte si, že kola v mžiku zmizí z našich životů. Tento vynález dal později vzniknout matematickému konceptu kruhu.

Část obrazce, která tvoří kružnici, jejíž body jsou stejně vzdálené, se nazývá oblouk. Nakreslíme-li paprsky ze středu kružnice do bodů, které se shodují s konci oblouku, vytvoří se jeho středový úhel.

Určení délky oblouku

Vyrábí se podle následujícího vzorce:

kde L je požadovaná délka oblouku, π = 3,14, r je poloměr kružnice, α je středový úhel.

Délka oblouku kruhu je 14,82 centimetrů.

V elementární geometrii je oblouk chápán jako podmnožina kružnice nacházející se mezi dvěma body na ní umístěnými. V praxi řešte problémy v definice její délka inženýři a architekti to musí dělat poměrně často, protože tento geometrický prvek je rozšířen v široké škále provedení.

Snad první, kdo stál před tímto úkolem, byli staří architekti, kteří tak či onak museli určit tento parametr pro stavbu kleneb, hojně používaných k zakrytí mezer mezi podpěrami v kulatých, polygonálních nebo eliptických stavbách. Když se zblízka podíváte na mistrovská díla starověké řecké, starověké římské a zejména arabské architektury, která přetrvala dodnes, všimnete si, že oblouky a klenby jsou v jejich návrzích extrémně běžné. Výtvory moderních architektů na ně nejsou tak bohaté, ale tyto geometrické prvky v nich samozřejmě nechybí.

Délka rozličný oblouk se musí počítat při stavbě silnic a železnic, ale i motorových tratí a bezpečnost provozu v mnoha případech do značné míry závisí na správnosti a přesnosti výpočtů. Faktem je, že mnohé zatáčky dálnic jsou z geometrického hlediska přesně oblouky, a když se po nich pohybují, působí na vozidla různé fyzikální síly. Parametry jejich výslednice jsou do značné míry určeny délkou oblouku, stejně jako jeho středovým úhlem a poloměrem.

Konstruktéři strojů a mechanismů musí pro správné a přesné uspořádání součástí různých celků vypočítat délky různých oblouků. V tomto případě jsou chyby ve výpočtech plné skutečnosti, že důležité a kritické části budou vzájemně nesprávně interagovat a mechanismus jednoduše nebude schopen fungovat tak, jak jeho tvůrci plánují. Příklady konstrukcí, které jsou plné geometrických prvků, jako jsou oblouky, zahrnují spalovací motory, převodovky, dřevo a kovoobráběcí zařízení, části karoserie osobních a nákladních automobilů atd.

Oblouky Jsou poměrně běžné v medicíně, zejména ve stomatologii. Používají se například ke korekci malokluzí. Korekční prvky nazývané rovnátka (nebo konzolové systémy) a mající příslušný tvar, jsou vyrobeny ze speciálních slitin a jsou instalovány tak, aby měnily polohu zubů. Je samozřejmé, že aby byla léčba úspěšná, je třeba tyto oblouky velmi přesně vypočítat. Kromě toho jsou oblouky velmi široce používány v traumatologii a možná nejnápadnějším příkladem toho je slavný Ilizarovův aparát, který vynalezl ruský lékař v roce 1951 a který se mimořádně úspěšně používá dodnes. Jeho nedílnou součástí jsou kovové oblouky, vybavené otvory, kterými se provlékají speciální pletací jehlice, a které jsou hlavními podpěrami celé konstrukce.

Problémy s nalezením oblasti kruhu jsou povinnou součástí jednotné státní zkoušky z matematiky. K tomuto tématu je v certifikačním testu zpravidla přiřazeno několik úkolů. Všichni studenti středních škol, bez ohledu na úroveň jejich přípravy, by měli rozumět algoritmu pro nalezení obvodu a plochy kruhu.

Pokud vám takové planimetrické úlohy způsobují potíže, doporučujeme obrátit se na vzdělávací portál Shkolkovo. S námi můžete vyplnit mezery ve znalostech.

Odpovídající část webu představuje velký výběr problémů pro nalezení obvodu a oblasti kruhu, podobné těm, které jsou součástí jednotné státní zkoušky. Když se absolvent naučí správně je provádět, bude schopen úspěšně zvládnout zkoušku.

Základní momenty

Problémy, které vyžadují použití plošných vzorců, mohou být přímé nebo inverzní. V prvním případě jsou známy parametry prvků obrázku. V tomto případě je požadovaným množstvím plocha. Ve druhém případě je naopak plocha známá a je potřeba najít nějaký prvek figury. Algoritmus pro výpočet správné odpovědi v takových úlohách se liší pouze v pořadí, ve kterém jsou použity základní vzorce. Proto je nutné při zahájení řešení takových problémů opakovat teoretickou látku.

Vzdělávací portál „Shkolkovo“ poskytuje všechny základní informace k tématu „Zjištění délky kruhu nebo oblouku a plochy kruhu“, ale i k dalším tématům např. Naši specialisté jej připravili a prezentovali v nejdostupnější podobě.

Po zapamatování základních vzorců mohou studenti začít vyplňovat problémy s hledáním oblasti kruhu, podobné těm, které jsou součástí jednotné státní zkoušky, online. Pro každé cvičení poskytuje stránka podrobné řešení a správnou odpověď. V případě potřeby lze jakýkoli úkol uložit do sekce „Oblíbené“, abyste se k němu mohli později vrátit a prodiskutovat jej s učitelem.

Kruh je hlavní figurou geometrie, jejíž vlastnosti se studují ve škole v 8. ročníku. Jedním z typických problémů s kruhem je najít oblast nějaké jeho části, která se nazývá kruhový sektor. Článek poskytuje vzorce pro oblast sektoru a délku jeho oblouku a také příklad jejich použití k řešení konkrétního problému.

Pojem obvod a kruh

Než uvedeme vzorec pro oblast kruhového sektoru, uvažujme, jaký je uvedený obrázek. Kruh je podle matematické definice obrazec na rovině, jehož všechny body jsou stejně vzdálené od určitého bodu (středu).

Při zvažování kruhu se používá následující terminologie:

• Poloměr je segment nakreslený od středu ke křivce kružnice. Obvykle se označuje písmenem R.
• Průměr je úsečka, která spojuje dva body na kružnici, ale také prochází středem obrazce. Obvykle se označuje písmenem D.
• Oblouk je část zakřiveného kruhu. Měří se buď v jednotkách délky nebo pomocí úhlů.

Kruh je další důležitou postavou v geometrii; je to soubor bodů, který je ohraničen křivkou kruhu.

Oblast kruhu a obvod

Hodnoty uvedené v názvu položky se vypočítají pomocí dvou jednoduchých vzorců. Jsou uvedeny níže:

• Obvod: L = 2*pi*R.
• Plocha kruhu: S = pi*R 2 .

V těchto vzorcích je pi určitá konstanta zvaná číslo Pi. Je to iracionální, to znamená, že to nelze přesně vyjádřit jako jednoduchý zlomek. Přibližná hodnota Pi je 3,1416.

Jak je z výše uvedených výrazů patrné, pro výpočet plochy a délky stačí znát pouze poloměr kružnice.

Oblast výseče kruhu a délka jeho oblouku

Před zvážením odpovídajících vzorců si připomeňme, že úhly v geometrii se obvykle vyjadřují dvěma hlavními způsoby:

• v šestinásobných stupních, přičemž úplná otáčka kolem své osy je 360 ​​o;
• v radiánech, které jsou vyjádřeny ve zlomcích čísla pí a jsou vztaženy ke stupňům pomocí následující rovnosti: 2*pi = 360 o.

Sektor kruhu je obrazec ohraničený třemi čarami: obloukem kruhu a dvěma poloměry umístěnými na koncích tohoto oblouku. Příklad kruhového sektoru je uveden na fotografii níže.

Po získání představy o tom, co je sektor kruhu, je snadné pochopit, jak vypočítat jeho plochu a délku odpovídajícího oblouku. Z obrázku výše je vidět, že oblouk výseče odpovídá úhlu θ. Víme, že úplný kruh odpovídá 2*pi radiánům, což znamená, že vzorec pro plochu kruhového sektoru bude mít tvar: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 * 0/(2*pi) = 0*R2/2. Zde je úhel θ vyjádřen v radiánech. Podobný vzorec pro oblast sektoru, pokud je úhel θ měřen ve stupních, bude vypadat takto: S 1 = pi*θ*R 2 /360.

Délka oblouku tvořícího sektor se vypočítá podle vzorce: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. A pokud θ známe ve stupních, pak: L 1 = pi*θ*R/180.

Příklad řešení problému

Na příkladu jednoduchého problému si ukážeme, jak použít vzorce pro oblast sektoru kruhu a délku jeho oblouku.

Je známo, že kolo má 12 paprsků. Když kolo udělá jednu celou otáčku, urazí vzdálenost 1,5 metru. Jaká je plocha mezi dvěma sousedními paprsky kola a jaká je délka oblouku mezi nimi?

Jak je vidět z odpovídajících vzorců, abyste je mohli použít, potřebujete znát dvě veličiny: poloměr kruhu a úhel oblouku. Poloměr lze vypočítat na základě znalosti obvodu kola, protože přesně tomu odpovídá vzdálenost, kterou urazí za jednu otáčku. Máme: 2*R*pi = 1,5, odkud: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 metru. Úhel mezi nejbližšími paprsky lze určit na základě znalosti jejich počtu. Za předpokladu, že všech 12 paprsků rovnoměrně rozdělí kruh na stejné sektory, dostaneme 12 stejných sektorů. V souladu s tím je úhlová míra oblouku mezi dvěma paprsky rovna: 0 = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 radiánů.

Našli jsme všechny potřebné veličiny, nyní je můžeme dosadit do vzorců a vypočítat hodnoty požadované stavem problému. Získáme: S 1 = 0,5236 * (0,2387) 2 /2 = 0,0149 m 2 nebo 149 cm 2; L1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 m nebo 12,5 cm.