Kaava ympyrän suuremman kaaren pituudelle. Ympyrän kehän ja alueen löytäminen

Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki aiheet, jotka tarvitaan matematiikan yhtenäisen valtionkokeen läpäisemiseen 60-65 pisteellä. Täysin kaikki Profile Unified State -kokeen matematiikan tehtävät 1-13. Soveltuu myös matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon suorittamiseen. Jos haluat läpäistä yhtenäisen valtionkokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi yhtenäiseen valtionkokeeseen luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan yhtenäisen valtionkokeen osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä 100 pisteen opiskelija eikä humanistinen opiskelija pärjää ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Unified State Exam -kokeen nopeat ratkaisut, sudenkuopat ja salaisuudet. Kaikki FIPI Task Bankin osan 1 nykyiset tehtävät on analysoitu. Kurssi täyttää täysin Unified State Exam 2018 -vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja yhtenäisiä valtionkoetehtäviä. Sanatehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat algoritmit ongelmien ratkaisemiseen. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten yhtenäisten valtiontutkintotehtävien analyysi. Stereometria. Hankalia ratkaisuja, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilallisen mielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä tehtävään 13. Ymmärtäminen tukahdutuksen sijaan. Selkeät selitykset monimutkaisille käsitteille. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Perusta yhtenäisen valtionkokeen osan 2 monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseen.

Ympärysmitta kutsutaan suljetuksi tasokäyräksi, jonka kaikki samassa tasossa olevat pisteet sijaitsevat samalla etäisyydellä keskustasta.

Piste NOIN on ympyrän keskipiste, R on ympyrän säde - etäisyys mistä tahansa ympyrän pisteestä keskustaan. Määritelmän mukaan kaikki suljetun säteet

riisi. 1

käyrät ovat yhtä pitkiä.

Ympyrän kahden pisteen välistä etäisyyttä kutsutaan jänteeksi. Ympyrän segmenttiä, joka kulkee sen keskustan läpi ja yhdistää kaksi sen pistettä, kutsutaan halkaisijaksi. Halkaisijan keskipiste on ympyrän keskipiste. Ympyrän pisteet jakavat suljetun käyrän kahteen osaan, kutakin osaa kutsutaan ympyräkaareksi. Jos kaaren päät kuuluvat halkaisijaan, niin tällaista ympyrää kutsutaan puoliympyräksi, jonka pituus yleensä merkitään π . Kahden ympyrän, joilla on yhteiset päät, astemitta on 360 astetta.

Samakeskiset ympyrät ovat ympyröitä, joilla on yhteinen keskus. Ortogonaaliset ympyrät ovat ympyröitä, jotka leikkaavat 90 asteen kulmassa.

Ympyrän ympäröimää tasoa kutsutaan ympyräksi. Ympyrän yksi osa, joka on rajoitettu kahdella säteellä ja kaarella, on pyöreä sektori. Sektorikaari on kaari, joka rajoittaa sektoria.

Riisi. 2

Ympyrän ja suoran suhteellinen sijainti (kuva 2).

Ympyrällä ja suoralla on kaksi yhteistä pistettä, jos etäisyys suorasta ympyrän keskipisteeseen on pienempi kuin ympyrän säde. Tässä tapauksessa suoraa linjaa suhteessa ympyrään kutsutaan sekantiksi.

Ympyrällä ja suoralla on yksi yhteinen piste, jos etäisyys suorasta ympyrän keskipisteeseen on yhtä suuri kuin ympyrän säde. Tässä tapauksessa ympyrän suhteen olevaa suoraa kutsutaan ympyrän tangentiksi. Niiden yhteistä pistettä kutsutaan ympyrän ja suoran tangenttipisteeksi.

Ympyrän peruskaavat:

• C = 2πR , Missä C -ympärysmitta
• R = С/(2π) = D/2 , Missä С/(2π) — ympyrän kaaren pituus
• D = C/π = 2R , Missä D - halkaisija
• S = πR2 , Missä S - ympyrän pinta-ala
• S = ((πR2)/360)a , Missä S — pyöreän sektorin alue

Ympärysmitta ja ympyrä saivat nimensä muinaisessa Kreikassa. Jo muinaisina aikoina ihmiset olivat kiinnostuneita pyöreistä vartaloista, joten ympyrästä tuli täydellisyyden kruunu. Se, että pyöreä runko pystyi liikkumaan itsestään, oli sysäys pyörän keksimiseen. Vaikuttaa siltä, ​​mitä erikoista tässä keksinnössä on? Mutta kuvittele, jos pyörät katoavat hetkessä elämästämme. Tämä keksintö synnytti myöhemmin matemaattisen ympyrän käsitteen.

Kuvion osaa, joka muodostaa ympyrän, jonka pisteet ovat yhtä kaukana, kutsutaan kaareksi. Jos vedämme säteitä ympyrän keskipisteestä pisteisiin, jotka ovat yhtäpitäviä kaaren päiden kanssa, muodostuu sen keskikulma.

Kaaren pituuden määrittäminen

Valmistettu seuraavan kaavan mukaan:

jossa L on haluttu kaaren pituus, π = 3,14, r on ympyrän säde, α on keskikulma.

Ympyrän kaaren pituus on 14,82 senttimetriä.

Alkeisgeometriassa kaarella tarkoitetaan ympyrän osajoukkoa, joka sijaitsee kahden siinä sijaitsevan pisteen välissä. Käytännössä ratkaise ongelmat määritelmä hänen pituus insinöörien ja arkkitehtien on tehtävä se melko usein, koska tämä geometrinen elementti on laajalle levinnyt monenlaisissa malleissa.

Ehkä ensimmäiset tämän tehtävän kohtasivat muinaiset arkkitehdit, joiden oli tavalla tai toisella määritettävä tämä parametri holvien rakentamiseen, joita käytettiin laajalti tukien välisten aukkojen peittämiseen pyöreissä, monikulmioissa tai elliptissä rakennuksissa. Jos tarkastelet tarkasti muinaisen kreikkalaisen, antiikin roomalaisen ja erityisesti arabien arkkitehtuurin mestariteoksia, jotka ovat säilyneet tähän päivään asti, huomaat, että kaaret ja holvit ovat erittäin yleisiä niiden suunnittelussa. Nykyaikaisten arkkitehtien luomukset eivät ole niissä niin runsaita, mutta nämä geometriset elementit ovat niissä luonnollisesti läsnä.

Pituus eri kaari on laskettava teiden ja rautateiden sekä moottoriraiteiden rakentamisen aikana, ja monissa tapauksissa liikenneturvallisuus riippuu pitkälti laskelmien oikeellisuudesta ja tarkkuudesta. Tosiasia on, että monet moottoriteiden käännökset ovat geometrisesta näkökulmasta tarkalleen kaaria, ja niiden liikkuessa ajoneuvoihin vaikuttavat erilaiset fyysiset voimat. Niiden resultantin parametrit määräävät suurelta osin kaaren pituus sekä sen keskikulma ja säde.

Koneiden ja mekanismien suunnittelijoiden on laskettava eri kaarien pituudet eri yksiköiden komponenttien oikean ja tarkan sijoittelun varmistamiseksi. Tässä tapauksessa laskelmien virheet ovat täynnä sitä tosiasiaa, että tärkeät ja kriittiset osat ovat vuorovaikutuksessa väärin toistensa kanssa ja mekanismi ei yksinkertaisesti pysty toimimaan luojiensa suunnittelemalla tavalla. Esimerkkejä rakenteista, jotka ovat täynnä geometrisia elementtejä, kuten kaaria, ovat polttomoottorit, vaihteistot, puun ja metallin työstölaitteet, henkilö- ja kuorma-autojen korin osat jne.

Arcs Ne ovat melko yleisiä lääketieteessä, erityisesti hammaslääketieteessä. Niitä käytetään esimerkiksi virheellisten pursumien korjaamiseen. Korjaavat elementit, joita kutsutaan olkaimet (tai kannatinjärjestelmät) ja joilla on sopiva muoto, valmistetaan erikoisseoksista ja asennetaan siten, että ne muuttavat hampaiden asentoa. On sanomattakin selvää, että jotta hoito onnistuisi, nämä kaaret on laskettava erittäin tarkasti. Lisäksi kaaria käytetään erittäin laajasti traumatologiassa, ja ehkä silmiinpistävin esimerkki tästä on kuuluisa Ilizarov-laite, jonka venäläinen lääkäri keksi vuonna 1951 ja jota käytetään erittäin menestyksekkäästi tähän päivään asti. Sen kiinteät osat ovat metallikaareja, joissa on reikiä, joiden läpi on pujotettu erityiset neulepuikot ja jotka ovat koko rakenteen päätukia.

Ongelmat ympyrän alueen löytämisessä ovat pakollinen osa matematiikan yhtenäistä valtiontutkintoa. Sertifiointitestissä tälle aiheelle annetaan yleensä useita tehtäviä. Kaikkien lukion opiskelijoiden, heidän valmistautumistasostaan ​​​​riippumatta, tulisi ymmärtää ympyrän kehän ja alueen löytämisen algoritmi.

Jos tällaiset planimetriset tehtävät aiheuttavat sinulle vaikeuksia, suosittelemme kääntymään Shkolkovon koulutusportaalin puoleen. Meillä voit täyttää tiedon aukot.

Sivuston vastaava osio esittelee laajan valikoiman ongelmia ympyrän kehän ja alueen löytämiseksi, samankaltaisia ​​kuin Unified State Exam -kokeessa. Oppittuaan suorittamaan ne oikein, valmistuja pystyy selviytymään kokeesta.

Perushetkiä

Aluekaavojen käyttöä vaativat ongelmat voivat olla suoria tai käänteisiä. Ensimmäisessä tapauksessa kuvioelementtien parametrit tunnetaan. Tässä tapauksessa vaadittu määrä on pinta-ala. Toisessa tapauksessa päinvastoin alue tunnetaan, ja on tarpeen löytää jokin kuvion elementti. Tällaisten tehtävien oikean vastauksen laskemisalgoritmi eroaa vain peruskaavojen soveltamisjärjestyksessä. Siksi, kun aloitetaan tällaisten ongelmien ratkaiseminen, on tarpeen toistaa teoreettinen materiaali.

Koulutusportaali "Shkolkovo" tarjoaa kaikki perustiedot aiheesta "Ympyrän tai kaaren pituuden ja ympyrän alueen löytäminen" sekä esimerkiksi muista aiheista. Asiantuntijamme valmistivat sen ja esittelivät sen saavutettavimmassa muodossa.

Kun opiskelijat ovat muistaneet peruskaavat, he voivat alkaa suorittaa verkossa tehtäviä ympyrän alueen löytämiseksi, samanlaisia ​​​​kuin ne sisältyvät Unified State Exam -kokeeseen. Jokaiselle harjoitukselle sivusto tarjoaa yksityiskohtaisen ratkaisun ja oikean vastauksen. Tarvittaessa minkä tahansa tehtävän voi tallentaa "Suosikit"-osioon, jotta voit palata siihen myöhemmin ja keskustella siitä opettajan kanssa.

Ympyrä on geometrian päähahmo, jonka ominaisuuksia tutkitaan koulussa 8. luokalla. Yksi tyypillisistä ympyrän ongelmista on löytää sen jonkin osan alue, jota kutsutaan pyöreäksi sektoriksi. Artikkelissa on kaavoja sektorin pinta-alalle ja sen kaaren pituudelle sekä esimerkki niiden käytöstä tietyn ongelman ratkaisemiseen.

Ympyrän ja ympyrän käsite

Ennen kuin annat kaavan ympyrän sektorin pinta-alalle, pohditaan, mikä on esitetty kuva. Matemaattisen määritelmän mukaan ympyrä on tasossa oleva kuvio, jonka kaikki pisteet ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä (keskipisteestä).

Ympyrää harkittaessa käytetään seuraavaa terminologiaa:

• Säde on jana, joka on piirretty keskipisteestä ympyrän käyrään. Sitä merkitään yleensä R-kirjaimella.
• Halkaisija on jana, joka yhdistää kaksi pistettä ympyrässä, mutta kulkee myös kuvion keskustan läpi. Se on yleensä merkitty kirjaimella D.
• Kaari on osa kaarevaa ympyrää. Se mitataan joko pituusyksiköissä tai kulmien avulla.

Ympyrä on toinen tärkeä hahmo geometriassa; se on kokoelma pisteitä, joita rajoittaa ympyrän käyrä.

Ympyrän pinta-ala ja ympärysmitta

Kohteen otsikossa merkityt arvot lasketaan kahdella yksinkertaisella kaavalla. Ne on annettu alla:

• Ympärysmitta: L = 2*pi*R.
• Ympyrän pinta-ala: S = pi*R 2 .

Näissä kaavoissa pi on tietty vakio, jota kutsutaan Pi-luvuksi. Se on irrationaalinen, eli sitä ei voida ilmaista tarkasti yksinkertaisena murtolukuna. Pi:n likimääräinen arvo on 3,1416.

Kuten yllä olevista lausekkeista voidaan nähdä, pinta-alan ja pituuden laskemiseksi riittää tietää vain ympyrän säde.

Ympyrän sektorin pinta-ala ja sen kaaren pituus

Ennen kuin tarkastelemme vastaavia kaavoja, muistetaan, että geometrian kulmat ilmaistaan ​​yleensä kahdella päätavalla:

• 6 simaaliastetta, jolloin täydellinen kierros akselinsa ympäri on 360 o;
• radiaaneina, jotka ilmaistaan ​​luvun pi murto-osina ja ovat suhteessa asteisiin seuraavalla yhtälöllä: 2*pi = 360 o.

Ympyrän sektori on kuvio, jota rajoittaa kolme viivaa: ympyrän kaari ja kaksi sädettä, jotka sijaitsevat tämän kaaren päissä. Esimerkki pyöreästä sektorista näkyy alla olevassa kuvassa.

Saatuaan käsityksen siitä, mikä ympyrän sektori on, on helppo ymmärtää, kuinka sen pinta-ala ja vastaavan kaaren pituus lasketaan. Yllä olevasta kuvasta voidaan nähdä, että sektorin kaari vastaa kulmaa θ. Tiedämme, että täydellinen ympyrä vastaa 2*pi radiaania, mikä tarkoittaa, että ympyränmuotoisen sektorin pinta-alan kaava on muotoa: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 * θ/(2*pi) = θ*R2/2. Tässä kulma θ ilmaistaan ​​radiaaneina. Samanlainen kaava sektorialueelle, jos kulma θ mitataan asteina, näyttää tältä: S 1 = pi*θ*R 2 /360.

Sektorin muodostavan kaaren pituus lasketaan kaavalla: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. Ja jos θ tunnetaan asteina, niin: L 1 = pi*θ*R/180.

Esimerkki ongelman ratkaisusta

Käytämme yksinkertaista ongelmaa esimerkkinä, osoitamme kuinka käyttää kaavoja ympyrän sektorin pinta-alalle ja sen kaaren pituudelle.

Tiedetään, että pyörässä on 12 pinnoja. Kun pyörä tekee yhden täyden kierroksen, se kattaa 1,5 metrin matkan. Mikä on pyörän kahden vierekkäisen pinnan välinen alue ja kuinka pitkä on niiden välinen kaari?

Kuten vastaavista kaavoista voidaan nähdä, niiden käyttämiseksi sinun on tiedettävä kaksi suuruutta: ympyrän säde ja kaaren kulma. Säde voidaan laskea pyörän ympärysmitan tietämyksen perusteella, koska sen yhdellä kierroksella kulkema matka vastaa täsmälleen sitä. Meillä on: 2*R*pi = 1,5, josta: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 metriä. Lähimpien pinnojen välinen kulma voidaan määrittää tietämällä niiden lukumäärä. Olettaen, että kaikki 12 pinnaa jakavat ympyrän tasaisesti yhtä suuriin sektoreihin, saadaan 12 identtistä sektoria. Vastaavasti kahden puolan välisen kaaren kulmamitta on yhtä suuri kuin: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 radiaania.

Olemme löytäneet kaikki tarvittavat suuret, nyt voimme korvata ne kaavoilla ja laskea ongelman ehdon vaatimat arvot. Saamme: S 1 = 0,5236 * (0,2387) 2 /2 = 0,0149 m 2 tai 149 cm 2; L 1 = 0,5236 * 0,2387 = 0,125 m tai 12,5 cm.