Kaava säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pinta-alalle. Pyramidi. Pyramidin kaavat ja ominaisuudet
Mitä hahmoa kutsumme pyramidiksi? Ensinnäkin se on monitahoinen. Toiseksi, tämän monitahoisen pohjassa on mielivaltainen monikulmio, ja pyramidin sivuilla (sivupinnat) on välttämättä kolmioiden muoto, jotka yhtyvät yhteen yhteiseen kärkeen. Nyt, kun olet ymmärtänyt termin, selvitetään kuinka löytää pyramidin pinta-ala.
On selvää, että tällaisen geometrisen kappaleen pinta-ala muodostuu pohjan pinta-alojen ja sen koko sivupinnan summasta.
Pyramidin pohjan pinta-alan laskeminen
Laskentakaavan valinta riippuu pyramidimme alla olevan polygonin muodosta. Se voi olla säännöllinen, toisin sanoen samanpituinen, tai epäsäännöllinen. Harkitse molempia vaihtoehtoja.
Pohja on säännöllinen monikulmio
Koulukurssilta tiedämme:
- neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivun pituus neliössä;
- Tasasivuisen kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivun neliö jaettuna 4:llä ja kerrottuna kolmen neliöjuurella.
Mutta on myös yleinen kaava minkä tahansa säännöllisen monikulmion (Sn) alueen laskemiseksi: sinun on kerrottava tämän monikulmion (P) kehä siihen kirjoitetun ympyrän säteellä (r) ja jaettava sitten tulos kahdella: Sn=1/2P*r .
Pohjassa on epäsäännöllinen monikulmio
Kaava sen alueen löytämiseksi on jakaa ensin koko monikulmio kolmioiksi, laskea kunkin pinta-ala kaavalla: 1/2a*h (jossa a on kolmion kanta, h on korkeus laskettu tämä perusta), laske yhteen kaikki tulokset.
Pyramidin sivupinta-ala
Lasketaan nyt pyramidin sivupinnan pinta-ala, ts. sen kaikkien sivusivujen pinta-alojen summa. Tässä on myös 2 vaihtoehtoa.
- Otetaanpa mielivaltainen pyramidi, ts. yksi, jonka pohjassa on epäsäännöllinen monikulmio. Sitten sinun tulee laskea kunkin kasvon pinta-ala erikseen ja lisätä tulokset. Koska pyramidin sivut voivat määritelmän mukaan olla vain kolmioita, laskenta suoritetaan käyttämällä yllä olevaa kaavaa: S=1/2a*h.
- Olkoon pyramidimme oikea, ts. sen pohjalla on säännöllinen monikulmio, ja pyramidin huipun projektio on sen keskellä. Sitten sivupinnan (Sb) pinta-alan laskemiseksi riittää, että löydetään puolet kantamonikulmion (P) kehän ja sivusivun korkeuden (h) tulosta (sama kaikille pinnoille) ): Sb = 1/2 P*h. Monikulmion ympärysmitta määritetään laskemalla yhteen sen kaikkien sivujen pituudet.
Säännöllisen pyramidin kokonaispinta-ala saadaan laskemalla yhteen sen pohjan pinta-ala koko sivupinnan pinta-alaan.
Esimerkkejä
Lasketaan esimerkiksi algebrallisesti useiden pyramidien pinta-alat.
Kolmion muotoisen pyramidin pinta-ala
Tällaisen pyramidin pohjassa on kolmio. Kaavalla So=1/2a*h saadaan pohjan pinta-ala. Käytämme samaa kaavaa löytääksemme pyramidin jokaisen pinnan alueen, jolla on myös kolmion muoto, ja saamme 3 aluetta: S1, S2 ja S3. Pyramidin sivupinnan pinta-ala on kaikkien pintojen summa: Sb = S1+ S2+ S3. Laskemalla yhteen sivujen ja pohjan pinta-alat saadaan halutun pyramidin kokonaispinta-ala: Sp= So+ Sb.
Nelikulmaisen pyramidin pinta-ala
Sivupinnan pinta-ala on 4 termin summa: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, joista jokainen lasketaan kolmion pinta-alan kaavalla. Ja pohjan pinta-ala on etsittävä nelikulmion muodosta riippuen - säännöllinen tai epäsäännöllinen. Pyramidin kokonaispinta-ala saadaan jälleen laskemalla yhteen pohjan pinta-ala ja annetun pyramidin kokonaispinta-ala.
Pyramidin sivupinnan kokonaispinta-ala koostuu sen sivupintojen pinta-alojen summasta.
Nelikulmaisessa pyramidissa on kahden tyyppisiä kasvoja - nelikulmio pohjassa ja kolmiot, joilla on yhteinen kärki, jotka muodostavat sivupinnan.
Ensin sinun on laskettava sivupintojen pinta-ala. Voit tehdä tämän käyttämällä kaavaa kolmion pinta-alalle tai voit myös käyttää kaavaa nelikulmaisen pyramidin pinta-alalle (vain jos monitaho on säännöllinen). Jos pyramidi on säännöllinen ja kannan reunan a ja siihen vedetyn apoteemin h pituus tunnetaan, niin:
Jos säännöllisen pyramidin reunan c pituus ja kannan a sivun pituus on annettu ehtojen mukaan, voit löytää arvon seuraavalla kaavalla: 
Jos annetaan reunan pituus pohjassa ja terävä kulma sitä vastapäätä ylhäällä, niin sivupinnan pinta-ala voidaan laskea sivun a neliön suhteesta puolen puolen kaksoiskosiniin. kulma α: 
Tarkastellaan esimerkkiä nelikulmaisen pyramidin pinta-alan laskemisesta pohjan sivureunan ja sivun läpi.
Tehtävä: Olkoon säännöllinen nelikulmainen pyramidi. Reunan pituus b = 7 cm, pohjasivun pituus a = 4 cm. Korvaa annetut arvot kaavaan:
Esitimme laskelmia yhden sivupinnan pinta-alasta säännölliselle pyramidille. Vastaavasti. Koko pinnan alueen löytämiseksi sinun on kerrottava tulos pintojen lukumäärällä, toisin sanoen 4:llä. Jos pyramidi on mielivaltainen ja sen pinnat eivät ole keskenään yhtä suuria, pinta-ala on laskettava jokaiselle yksittäiselle puolelle. Jos kanta on suorakulmio tai suuntaviiva, kannattaa muistaa niiden ominaisuudet. Näiden hahmojen sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset, ja vastaavasti pyramidin pinnat ovat myös pareittain identtiset.
Nelikulmaisen pyramidin pohjan pinta-alan kaava riippuu suoraan siitä, mikä nelikulmio on pohjassa. Jos pyramidi on oikea, pohjan pinta-ala lasketaan kaavalla, jos kanta on rombi, sinun on muistettava, kuinka se sijaitsee. Jos pohjassa on suorakulmio, sen alueen löytäminen on melko yksinkertaista. Riittää, kun tietää pohjan sivujen pituudet. Tarkastellaan esimerkkiä nelikulmaisen pyramidin pohjan alueen laskemisesta.
Tehtävä: Olkoon pyramidi, jonka pohjalla on suorakulmio, jonka sivut a = 3 cm, b = 5 cm. Pyramidin huipulta lasketaan apoteemi kummallekin sivulle. h-a = 4 cm, h-b = 6 cm Pyramidin huippu on samalla linjalla diagonaalien leikkauspisteen kanssa. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala.
Nelikulmaisen pyramidin pinta-alan kaava koostuu kaikkien pintojen pinta-alojen ja pohjan pinta-alan summasta. Etsitään ensin pohjan pinta-ala: 
Katsotaanpa nyt pyramidin sivuja. Ne ovat identtisiä pareittain, koska pyramidin korkeus leikkaa diagonaalien leikkauspisteen. Eli pyramidissamme on kaksi kolmiota, joiden kanta on a ja korkeus h-a, sekä kaksi kolmiota, joiden kanta on b ja korkeus h-b. Etsitään nyt kolmion pinta-ala tunnetulla kaavalla: 
Suoritetaan nyt esimerkki nelikulmaisen pyramidin pinta-alan laskemisesta. Pyramidissamme, jonka pohjassa on suorakulmio, kaava näyttäisi tältä:
Pyramidin pinta-ala. Tässä artikkelissa tarkastellaan tavallisten pyramidien ongelmia. Haluan muistuttaa, että säännöllinen pyramidi on pyramidi, jonka kanta on säännöllinen monikulmio, pyramidin huippu heijastetaan tämän monikulmion keskelle.
Tällaisen pyramidin sivupinta on tasakylkinen kolmio.Tämän kolmion korkeutta, joka on vedetty säännöllisen pyramidin kärjestä, kutsutaan apoteemiksi, SF - apoteemiksi:
Alla esitetyssä ongelmatyypissä sinun on löydettävä koko pyramidin pinta-ala tai sen sivupinnan pinta-ala. Blogissa on jo käsitelty useita tavallisten pyramidien ongelmia, joissa kysymys oli elementtien löytämisestä (korkeus, pohjareuna, sivureuna).
Unified State Examination -tehtävissä tutkitaan yleensä säännöllisiä kolmio-, nelikulma- ja kuusikulmiopyramideja. En ole nähnyt mitään ongelmia tavallisten viisikulmaisten ja seitsemänkulmaisten pyramidien kanssa.
Koko pinnan pinta-alan kaava on yksinkertainen - sinun on löydettävä pyramidin pohjan pinta-alan ja sen sivupinnan pinta-alan summa:
Mietitään tehtäviä:
Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pohjan sivut ovat 72, sivureunat 164. Selvitä tämän pyramidin pinta-ala.
Pyramidin pinta-ala on yhtä suuri kuin sivupinnan ja pohjan pinta-alojen summa:
* Sivupinta koostuu neljästä kolmiosta, joiden pinta-ala on yhtä suuri. Pyramidin pohja on neliö.
Voimme laskea pyramidin sivun pinta-alan käyttämällä:
Pyramidin pinta-ala on siis:
Vastaus: 28224
Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin pohjan sivut ovat 22, sivureunat 61. Etsi tämän pyramidin sivupinta-ala.
Säännöllisen kuusikulmioisen pyramidin kanta on säännöllinen kuusikulmio.
Tämän pyramidin sivupinta-ala koostuu kuudesta yhtä suuresta kolmiosta, joiden sivut ovat 61, 61 ja 22:
Etsitään kolmion pinta-ala Heronin kaavalla:
Siten sivupinta-ala on:
Vastaus: 3240
*Yllä esitetyissä tehtävissä sivupinnan pinta-ala löytyi toisella kolmiokaavalla, mutta tätä varten sinun on laskettava apoteemi.
27155. Etsi säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pinta-ala, jonka kantasivut ovat 6 ja korkeus 4.
Pyramidin pinta-alan löytämiseksi meidän on tiedettävä pohjan pinta-ala ja sivupinnan pinta-ala:
Pohjan pinta-ala on 36, koska se on neliö, jonka sivu on 6.
Sivupinta koostuu neljästä pinnasta, jotka ovat yhtä suuria kolmioita. Tällaisen kolmion alueen löytämiseksi sinun on tiedettävä sen pohja ja korkeus (apotem):
*Kolmion pinta-ala on puolet kannan ja tähän kantaan vedetyn korkeuden tulosta.
Perus on tiedossa, se on kuusi. Etsitään korkeus. Harkitse suorakulmaista kolmiota (korostettu keltaisella):
Yksi jalka on yhtä suuri kuin 4, koska tämä on pyramidin korkeus, toinen on yhtä suuri kuin 3, koska se on yhtä suuri kuin puolet pohjan reunasta. Voimme löytää hypotenuusan käyttämällä Pythagoraan lausetta:
Tämä tarkoittaa, että pyramidin sivupinnan pinta-ala on:
Siten koko pyramidin pinta-ala on:
Vastaus: 96
27069. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pohjan sivut ovat 10, sivureunat 13. Selvitä tämän pyramidin pinta-ala.
27070. Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin pohjan sivut ovat 10, sivureunat 13. Selvitä tämän pyramidin sivupinta-ala.
On olemassa myös kaavoja säännöllisen pyramidin sivupinta-alalle. Tavallisessa pyramidissa kanta on sivupinnan kohtisuora projektio, joten:
P- pohjakehä, l- pyramidin apoteemi
*Tämä kaava perustuu kolmion pinta-alan kaavaan.
Jos haluat oppia lisää näiden kaavojen johdosta, älä missaa sitä, seuraa artikkeleiden julkaisua.Siinä kaikki. Onnea sinulle!
Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.
P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit minulle sivustosta sosiaalisessa mediassa.
on kuvio, jonka kanta on mielivaltainen monikulmio ja sivupinnat on esitetty kolmioilla. Niiden kärjet sijaitsevat samassa pisteessä ja vastaavat pyramidin huippua.
Pyramidi voi vaihdella - kolmion muotoinen, nelikulmainen, kuusikulmainen jne. Sen nimi voidaan määrittää pohjan vieressä olevien kulmien lukumäärän mukaan.
Oikea pyramidi kutsutaan pyramidiksi, jossa pohjan sivut, kulmat ja reunat ovat yhtä suuret. Myös tällaisessa pyramidissa sivupintojen pinta-ala on yhtä suuri.
Pyramidin sivupinnan pinta-alan kaava on sen kaikkien pintojen pinta-alojen summa:
Toisin sanoen mielivaltaisen pyramidin sivupinnan alueen laskemiseksi sinun on löydettävä kunkin yksittäisen kolmion pinta-ala ja laskettava ne yhteen. Jos pyramidi on katkaistu, sen pinnat esitetään puolisuunnikkaan. Tavalliselle pyramidille on toinen kaava. Siinä sivupinta-ala lasketaan pohjan puolikehän ja apoteemin pituuden kautta:
Tarkastellaan esimerkkiä pyramidin sivupinnan alueen laskemisesta.
Olkoon säännöllinen nelikulmainen pyramidi. Pohjan puoli b= 6 cm, apoteemi a= 8 cm. Etsi sivupinnan pinta-ala.
Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pohjassa on neliö. Etsitään ensin sen ympärysmitta:
Nyt voimme laskea pyramidimme sivupinta-alan: 
Monitahoisen kokonaispinta-alan löytämiseksi sinun on löydettävä sen pohjan pinta-ala. Pyramidin pohjan pinta-alan kaava voi vaihdella sen mukaan, mikä monikulmio sijaitsee pohjassa. Käytä tätä varten kolmion pinta-alan kaavaa, suunnikkaan pinta-ala jne.
Harkitse esimerkkiä ehtojemme antamasta pyramidin pohjan pinta-alan laskemisesta. Koska pyramidi on säännöllinen, sen pohjassa on neliö.
Neliön alue lasketaan kaavalla: ,
missä a on neliön sivu. Meille se on 6 cm. Tämä tarkoittaa, että pyramidin pohjan pinta-ala on: 
Nyt jäljellä on vain löytää monitahoisen kokonaispinta-ala. Pyramidin pinta-alan kaava koostuu sen pohjan ja sivupinnan pinta-alan summasta.
Määritelmä. Sivureuna- tämä on kolmio, jossa yksi kulma on pyramidin huipulla ja vastakkainen puoli osuu pohjan (polygonin) sivuun.
Määritelmä. Sivukylkiluut- nämä ovat sivupintojen yhteiset puolet. Pyramidilla on yhtä monta reunaa kuin monikulmion kulmia.
Määritelmä. Pyramidin korkeus- tämä on kohtisuora, joka on laskettu pyramidin ylhäältä alas.
Määritelmä. Apothem- tämä on kohtisuora pyramidin sivupintaan nähden, laskettuna pyramidin huipulta pohjan sivulle.
Määritelmä. Diagonaalinen leikkaus- tämä on pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee pyramidin huipun ja pohjan lävistäjän läpi.
Määritelmä. Oikea pyramidi on pyramidi, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja korkeus laskee pohjan keskelle.
Pyramidin tilavuus ja pinta-ala
Kaava. Pyramidin tilavuus pohjapinta-alan ja korkeuden läpi:
Pyramidin ominaisuudet
Jos kaikki sivureunat ovat yhtä suuret, pyramidin pohjan ympärille voidaan piirtää ympyrä, jonka pohjan keskipiste on sama kuin ympyrän keskusta. Myös ylhäältä pudonnut kohtisuora kulkee pohjan (ympyrän) keskustan läpi.
Jos kaikki sivureunat ovat yhtä suuret, ne ovat kallistettuina pohjan tasoon samoissa kulmissa.
Sivureunat ovat yhtä suuret, kun ne muodostavat yhtä suuret kulmat pohjan tason kanssa tai jos ympyrä voidaan kuvata pyramidin pohjan ympärillä.
Jos sivupinnat ovat vinossa pohjan tasoon nähden samassa kulmassa, niin pyramidin pohjaan voidaan kirjoittaa ympyrä ja pyramidin huippu heijastetaan sen keskustaan.
Jos sivupinnat ovat vinossa pohjan tasoon nähden samassa kulmassa, niin sivupintojen apoteemit ovat yhtä suuret.
Säännöllisen pyramidin ominaisuudet
1. Pyramidin huippu on yhtä kaukana jalustan kaikista kulmista.
2. Kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.
3. Kaikki sivurivat ovat kaltevassa tasaisessa kulmassa alustaan nähden.
4. Kaikkien sivupintojen apoteemit ovat yhtä suuret.
5. Kaikkien sivupintojen pinta-alat ovat yhtä suuret.
6. Kaikilla pinnoilla on samat kaksitahoiset (litteät) kulmat.
7. Pyramidin ympärillä voidaan kuvata pallo. Piirretyn pallon keskipiste on reunojen keskikohdan läpi kulkevien kohtisuorien leikkauspiste.
8. Voit sovittaa pallon pyramidiin. Piirretyn pallon keskipiste on reunan ja kannan välisestä kulmasta lähtevien puolittajien leikkauspiste.
9. Jos piirretyn pallon keskipiste on sama kuin rajatun pallon keskipiste, niin tasokulmien summa kärjessä on yhtä suuri kuin π tai päinvastoin, yksi kulma on yhtä suuri kuin π/n, missä n on luku pyramidin pohjan kulmista.
Pyramidin ja pallon välinen yhteys
Pallo voidaan kuvata pyramidin ympärillä, kun pyramidin juurella on monitahoinen, jonka ympärillä voidaan kuvata ympyrää (välttämätön ja riittävä ehto). Pallon keskipiste on pyramidin sivureunojen keskipisteiden läpi kohtisuorassa kulkevien tasojen leikkauspiste.
On aina mahdollista kuvata pallo minkä tahansa kolmion tai säännöllisen pyramidin ympärillä.
Pallo voidaan kirjoittaa pyramidiin, jos pyramidin sisäisten dihedraalisten kulmien puolittajatasot leikkaavat yhdessä pisteessä (välttämätön ja riittävä ehto). Tämä piste tulee olemaan pallon keskipiste.
Pyramidin kytkentä kartioon
Kartion sanotaan olevan kaiverrettu pyramidiin, jos sen kärjet ovat yhtenevät ja kartion kanta on kaiverrettu pyramidin pohjaan.
Pyramidiin voidaan kirjoittaa kartio, jos pyramidin apoteemit ovat yhtä suuret.
Kartion sanotaan olevan pyramidin ympärillä, jos sen kärjet ovat samat ja kartion kanta on rajattu pyramidin pohjan ympärille.
Kartiota voidaan kuvata pyramidin ympärillä, jos kaikki pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret.
Pyramidin ja sylinterin välinen suhde
Pyramidia kutsutaan sylinteriin kirjoitetuksi, jos pyramidin yläosa on sylinterin yhdellä pohjalla ja pyramidin kanta on kaiverrettu sylinterin toiseen kantaan.
Sylinteri voidaan kuvata pyramidin ympärillä, jos ympyrä voidaan kuvata pyramidin pohjan ympärillä.
Tetraedrillä on neljä pintaa ja neljä kärkeä ja kuusi reunaa, joissa kahdella reunalla ei ole yhteisiä kärkipisteitä, mutta ne eivät kosketa.
Jokainen kärkipiste koostuu kolmesta muodostavasta pinnasta ja reunasta kolmiokulma.
Segmenttiä, joka yhdistää tetraedrin kärjen vastakkaisen pinnan keskustaan, kutsutaan tetraedrin mediaani(GM).
Bimediaan kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää vastakkaisten reunojen keskipisteet, jotka eivät kosketa (KL).
Kaikki tetraedrin bimediaanit ja mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä (S). Tässä tapauksessa bimediaanit jaetaan puoliksi ja mediaanit suhteessa 3:1 alkaen ylhäältä.
Määritelmä. Teräväkulmainen pyramidi- pyramidi, jossa apoteemi on yli puolet pohjan sivun pituudesta.
Määritelmä. Tylsä pyramidi- pyramidi, jossa apoteemi on alle puolet pohjan sivun pituudesta.
Määritelmä. Säännöllinen tetraedri- tetraedri, jonka kaikki neljä sivua ovat tasasivuisia kolmioita. Se on yksi viidestä säännöllisestä monikulmiosta. Säännöisessä tetraedrissä kaikki dihedraaliset kulmat (pintojen välillä) ja kolmikulmaiset (kärkessä) ovat yhtä suuret.
Määritelmä. Suorakaiteen muotoinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jonka kärjessä on suora kulma kolmen reunan välillä (reunat ovat kohtisuorassa). Muodostuu kolme kasvoa suorakaiteen muotoinen kolmiokulma ja pinnat ovat suorakulmaisia kolmioita, ja kanta on mielivaltainen kolmio. Minkä tahansa kasvojen apoteemi on yhtä suuri kuin puolet pohjan sivusta, jolle apoteemi putoaa.
Määritelmä. Isoedrinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jonka sivupinnat ovat yhtä suuret toistensa kanssa ja kanta on säännöllinen kolmio. Tällaisella tetraedrillä on pinnat, jotka ovat tasakylkisiä kolmioita.
Määritelmä. Ortosentrinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jossa kaikki korkeudet (pystysuorat), jotka lasketaan ylhäältä vastakkaiselle pinnalle, leikkaavat yhdessä pisteessä.
Määritelmä. Tähtipyramidi kutsutaan monitahoiseksi, jonka kanta on tähti.
