किसी वृत्त के बड़े चाप की लंबाई का सूत्र. एक वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात करना

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परिधिएक बंद, समतल वक्र कहा जाता है, जिसके सभी बिंदु, एक ही तल में स्थित, केंद्र से समान दूरी पर स्थित होते हैं।

डॉट के बारे में वृत्त का केंद्र है, आर वृत्त की त्रिज्या है - वृत्त के किसी भी बिंदु से केंद्र तक की दूरी। परिभाषा के अनुसार, किसी बंद की सभी त्रिज्याएँ

चावल। 1

वक्रों की लंबाई समान होती है।

वृत्त पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी को जीवा कहा जाता है। किसी वृत्त का वह खंड जो उसके केंद्र से होकर गुजरता है और उसके दो बिंदुओं को जोड़ता है, व्यास कहलाता है। व्यास का मध्यबिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त पर स्थित बिंदु एक बंद वक्र को दो भागों में विभाजित करते हैं, प्रत्येक भाग को वृत्ताकार चाप कहा जाता है। यदि चाप के सिरे व्यास के हों तो ऐसे वृत्त को अर्धवृत्त कहा जाता है, जिसकी लंबाई आमतौर पर निरूपित की जाती है π . समान सिरे वाले दो वृत्तों की डिग्री माप 360 डिग्री है।

संकेंद्रित वृत्त वे वृत्त होते हैं जिनका केंद्र एक उभयनिष्ठ होता है। ऑर्थोगोनल वृत्त वे वृत्त होते हैं जो 90 डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।

वृत्त से घिरे हुए तल को वृत्त कहते हैं। वृत्त का एक भाग, जो दो त्रिज्याओं और एक चाप द्वारा सीमित है, एक वृत्ताकार क्षेत्र है। एक सेक्टर आर्क एक आर्क है जो एक सेक्टर को बांधता है।

चावल। 2

एक वृत्त और एक सीधी रेखा की सापेक्ष स्थिति (चित्र 2)।

एक वृत्त और एक सीधी रेखा में दो बिंदु समान होते हैं यदि सीधी रेखा से वृत्त के केंद्र तक की दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम हो। इस स्थिति में, वृत्त के संबंध में सीधी रेखा को छेदक रेखा कहा जाता है।

एक वृत्त और एक सीधी रेखा में एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है यदि सीधी रेखा से वृत्त के केंद्र तक की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर हो। इस स्थिति में, वृत्त के संबंध में रेखा को वृत्त की स्पर्शरेखा कहा जाता है। उनके उभयनिष्ठ बिंदु को वृत्त और रेखा का स्पर्शरेखा बिंदु कहा जाता है।

मूल वृत्त सूत्र:

• सी = 2πR , कहाँ सी -परिधि
• आर = सी/(2π) = डी/2 , कहाँ С/(2π) - वृत्त के चाप की लंबाई
• डी = सी/π = 2आर , कहाँ डी - व्यास
• एस = πR2 , कहाँ एस - एक वृत्त का क्षेत्रफल
• एस = ((πR2)/360)α , कहाँ एस — वृत्ताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल

परिधि और वृत्त को उनका नाम प्राचीन ग्रीस में मिला। पहले से ही प्राचीन काल में, लोग गोल शरीरों में रुचि रखते थे, इसलिए वृत्त पूर्णता का ताज बन गया। यह तथ्य कि एक गोल शरीर अपने आप चल सकता है, पहिये के आविष्कार के लिए प्रेरणा थी। ऐसा प्रतीत होता है, इस आविष्कार में क्या खास है? लेकिन सोचिए अगर एक पल में हमारी जिंदगी से पहिए गायब हो जाएं। इस आविष्कार ने बाद में वृत्त की गणितीय अवधारणा को जन्म दिया।

किसी आकृति का वह भाग जो एक वृत्त बनाता है जिसके बिंदु समान दूरी पर होते हैं, चाप कहलाता है। यदि हम वृत्त के केंद्र बिंदु से चाप के सिरों से मेल खाने वाले बिंदुओं तक किरणें खींचते हैं, तो इसका केंद्रीय कोण बनेगा।

चाप की लंबाई का निर्धारण

निम्नलिखित सूत्र के अनुसार उत्पादित:

जहां L वांछित चाप की लंबाई है, π = 3.14, r वृत्त की त्रिज्या है, α केंद्रीय कोण है।

एक वृत्त के चाप की लंबाई 14.82 सेंटीमीटर है।

प्रारंभिक ज्यामिति में, एक चाप को उस पर स्थित दो बिंदुओं के बीच स्थित वृत्त के सबसेट के रूप में समझा जाता है। व्यवहार में, समस्याओं का समाधान करें परिभाषाउसकी लंबाईइंजीनियरों और वास्तुकारों को अक्सर ऐसा करना पड़ता है, क्योंकि यह ज्यामितीय तत्व विभिन्न प्रकार के डिज़ाइनों में व्यापक है।

संभवतः इस कार्य का सामना करने वाले पहले प्राचीन वास्तुकार थे, जिन्हें एक या दूसरे तरीके से वॉल्ट के निर्माण के लिए इस पैरामीटर को निर्धारित करना था, जिसका व्यापक रूप से गोल, बहुभुज या अण्डाकार इमारतों में समर्थन के बीच अंतराल को कवर करने के लिए उपयोग किया जाता था। यदि आप प्राचीन ग्रीक, प्राचीन रोमन और विशेष रूप से अरब वास्तुकला की उत्कृष्ट कृतियों पर करीब से नज़र डालें जो आज तक बची हुई हैं, तो आप देखेंगे कि उनके डिजाइन में मेहराब और वाल्ट बेहद सामान्य हैं। आधुनिक वास्तुकारों की रचनाएँ इतनी समृद्ध नहीं हैं, लेकिन ये ज्यामितीय तत्व, निश्चित रूप से, उनमें मौजूद हैं।

लंबाईविभिन्न आर्कसड़कों और रेलवे के साथ-साथ मोटर ट्रैक के निर्माण के दौरान गणना की जानी चाहिए, और कई मामलों में यातायात सुरक्षा काफी हद तक गणना की शुद्धता और सटीकता पर निर्भर करती है। तथ्य यह है कि ज्यामितीय दृष्टिकोण से, राजमार्गों के कई मोड़ बिल्कुल चाप हैं, और जैसे ही वे उनके साथ चलते हैं, विभिन्न भौतिक बल वाहनों पर कार्य करते हैं। उनके परिणामी पैरामीटर काफी हद तक चाप की लंबाई, साथ ही इसके केंद्रीय कोण और त्रिज्या से निर्धारित होते हैं।

मशीनों और तंत्रों के डिजाइनरों को विभिन्न इकाइयों के घटकों की सही और सटीक व्यवस्था के लिए विभिन्न चापों की लंबाई की गणना करनी होती है। इस मामले में, गणना में त्रुटियां इस तथ्य से भरी होती हैं कि महत्वपूर्ण और महत्वपूर्ण हिस्से एक-दूसरे के साथ गलत तरीके से बातचीत करेंगे और तंत्र बस अपने रचनाकारों की योजना के अनुसार कार्य करने में सक्षम नहीं होगा। संरचनाओं के उदाहरण जो आर्क जैसे ज्यामितीय तत्वों से परिपूर्ण हैं, उनमें आंतरिक दहन इंजन, गियरबॉक्स, लकड़ी और धातु के उपकरण, कारों और ट्रकों के शरीर के हिस्से आदि शामिल हैं।

आर्क्सवे चिकित्सा में, विशेष रूप से दंत चिकित्सा में, काफी आम हैं। उदाहरण के लिए, इनका उपयोग गलत निष्कर्षों को ठीक करने के लिए किया जाता है। सुधारात्मक तत्व जिन्हें ब्रेसिज़ (या ब्रैकेट सिस्टम) कहा जाता है और उचित आकार वाले होते हैं, विशेष मिश्र धातुओं से बने होते हैं, और दांतों की स्थिति को बदलने के लिए इस तरह से स्थापित किए जाते हैं। यह कहने की आवश्यकता नहीं है कि उपचार के सफल होने के लिए, इन चापों की बहुत सटीक गणना की जानी चाहिए। इसके अलावा, आघात विज्ञान में मेहराब का बहुत व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और शायद इसका सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण प्रसिद्ध इलिजारोव उपकरण है, जिसका आविष्कार 1951 में एक रूसी डॉक्टर द्वारा किया गया था और आज तक इसका बेहद सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है। इसके अभिन्न अंग धातु के चाप हैं, जो छिद्रों से सुसज्जित हैं जिनके माध्यम से विशेष बुनाई सुइयों को पिरोया जाता है, और जो संपूर्ण संरचना का मुख्य समर्थन हैं।

वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने में समस्याएँ गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा का एक अनिवार्य हिस्सा हैं। एक नियम के रूप में, प्रमाणन परीक्षण में इस विषय पर कई कार्य सौंपे जाते हैं। सभी हाई स्कूल के छात्रों को, उनकी तैयारी के स्तर की परवाह किए बिना, एक वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम को समझना चाहिए।

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बुनियादी क्षण

जिन समस्याओं के लिए क्षेत्र सूत्रों के उपयोग की आवश्यकता होती है वे प्रत्यक्ष या व्युत्क्रम हो सकते हैं। पहले मामले में, आकृति तत्वों के पैरामीटर ज्ञात हैं। इस स्थिति में, आवश्यक मात्रा क्षेत्रफल है। दूसरे मामले में, इसके विपरीत, क्षेत्र ज्ञात है, और आकृति का कुछ तत्व खोजना आवश्यक है। ऐसे कार्यों में सही उत्तर की गणना के लिए एल्गोरिदम केवल उस क्रम में भिन्न होता है जिसमें मूल सूत्र लागू होते हैं। इसीलिए, ऐसी समस्याओं को हल करना शुरू करते समय सैद्धांतिक सामग्री को दोहराना आवश्यक है।

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बुनियादी सूत्रों को याद रखने के बाद, छात्र एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्याओं को ऑनलाइन पूरा करना शुरू कर सकते हैं, जैसे कि एकीकृत राज्य परीक्षा में शामिल हैं। प्रत्येक अभ्यास के लिए, साइट एक विस्तृत समाधान और सही उत्तर प्रदान करती है। यदि आवश्यक हो, तो किसी भी कार्य को "पसंदीदा" अनुभाग में सहेजा जा सकता है ताकि बाद में उस पर वापस आकर शिक्षक के साथ चर्चा की जा सके।

वृत्त ज्यामिति में मुख्य आकृति है, जिसके गुणों का अध्ययन स्कूल में 8वीं कक्षा में किया जाता है। किसी वृत्त से जुड़ी विशिष्ट समस्याओं में से एक उसके कुछ भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, जिसे वृत्ताकार क्षेत्र कहा जाता है। लेख एक सेक्टर के क्षेत्रफल और उसके चाप की लंबाई के लिए सूत्र प्रदान करता है, साथ ही एक विशिष्ट समस्या को हल करने के लिए उनके उपयोग का एक उदाहरण भी प्रदान करता है।

परिधि और वृत्त की अवधारणा

किसी वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र देने से पहले, आइए विचार करें कि संकेतित आकृति क्या है। गणितीय परिभाषा के अनुसार, वृत्त एक समतल पर बनी एक आकृति है, जिसके सभी बिंदु एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर होते हैं।

किसी वृत्त पर विचार करते समय, निम्नलिखित शब्दावली का उपयोग किया जाता है:

• त्रिज्या वृत्त के केंद्र बिंदु से वक्र तक खींचा गया एक खंड है। इसे आमतौर पर आर अक्षर से दर्शाया जाता है।
• व्यास एक रेखा खंड है जो एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ता है, लेकिन आकृति के केंद्र से भी होकर गुजरता है। इसे आमतौर पर अक्षर D से दर्शाया जाता है।
• चाप एक घुमावदार वृत्त का एक भाग है। इसे या तो लंबाई की इकाइयों में या कोणों का उपयोग करके मापा जाता है।

वृत्त ज्यामिति में एक और महत्वपूर्ण आकृति है; यह बिंदुओं का एक संग्रह है जो एक वृत्त के वक्र से घिरा होता है।

वृत्त और परिधि का क्षेत्रफल

आइटम के शीर्षक में नोट किए गए मानों की गणना दो सरल सूत्रों का उपयोग करके की जाती है। वे नीचे दिए गए हैं:

• परिधि: L = 2*pi*R.
• एक वृत्त का क्षेत्रफल: S = pi*R 2.

इन सूत्रों में, पाई एक निश्चित स्थिरांक है जिसे पाई संख्या कहा जाता है। यह तर्कहीन है, अर्थात इसे एक साधारण भिन्न के रूप में सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। पाई का अनुमानित मान 3.1416 है।

जैसा कि उपरोक्त भावों से देखा जा सकता है, क्षेत्रफल और लंबाई की गणना करने के लिए केवल वृत्त की त्रिज्या जानना ही पर्याप्त है।

एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और उसके चाप की लंबाई

संबंधित सूत्रों पर विचार करने से पहले, आइए याद रखें कि ज्यामिति में कोण आमतौर पर दो मुख्य तरीकों से व्यक्त किए जाते हैं:

• सेक्सजेसिमल डिग्री में, अपनी धुरी के चारों ओर 360 डिग्री की पूर्ण क्रांति के साथ;
• रेडियन में, जो संख्या पाई के अंशों में व्यक्त किए जाते हैं और निम्नलिखित समानता द्वारा डिग्री से संबंधित होते हैं: 2*pi = 360 o।

एक वृत्त का एक त्रिज्यखंड तीन रेखाओं से घिरी एक आकृति है: एक वृत्त का एक चाप और इस चाप के सिरों पर स्थित दो त्रिज्याएँ। एक वृत्ताकार क्षेत्र का एक उदाहरण नीचे दी गई तस्वीर में दिखाया गया है।

किसी वृत्त का त्रिज्यखंड क्या है, इसका अंदाजा लगाने के बाद, यह समझना आसान है कि इसके क्षेत्रफल और संबंधित चाप की लंबाई की गणना कैसे करें। उपरोक्त चित्र से यह देखा जा सकता है कि त्रिज्यखंड का चाप कोण θ से मेल खाता है। हम जानते हैं कि एक पूर्ण वृत्त 2*pi रेडियन से मेल खाता है, जिसका अर्थ है कि एक वृत्ताकार क्षेत्र के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार होगा: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 * θ/(2*pi) = θ*R 2 /2. यहां कोण θ को रेडियन में व्यक्त किया गया है। यदि कोण θ को डिग्री में मापा जाता है तो सेक्टर क्षेत्र के लिए एक समान सूत्र इस प्रकार दिखेगा: S 1 = pi*θ*R 2 /360।

त्रिज्यखंड बनाने वाले चाप की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. और यदि θ को डिग्री में जाना जाता है, तो: L 1 = pi*θ*R/180.

समस्या समाधान का उदाहरण

उदाहरण के तौर पर एक साधारण समस्या का उपयोग करते हुए, हम दिखाएंगे कि किसी वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल और उसके चाप की लंबाई के लिए सूत्रों का उपयोग कैसे करें।

ज्ञातव्य है कि पहिये में 12 तीलियाँ होती हैं। जब पहिया एक पूर्ण चक्कर लगाता है, तो यह 1.5 मीटर की दूरी तय करता है। पहिये की दो आसन्न तीलियों के बीच का क्षेत्रफल कितना है और उनके बीच चाप की लंबाई क्या है?

जैसा कि संबंधित सूत्रों से देखा जा सकता है, उनका उपयोग करने के लिए, आपको दो मात्राएँ जानने की आवश्यकता है: वृत्त की त्रिज्या और चाप का कोण। त्रिज्या की गणना पहिये की परिधि के ज्ञान के आधार पर की जा सकती है, क्योंकि यह एक चक्कर में जो दूरी तय करता है वह बिल्कुल उसी के अनुरूप होती है। हमारे पास है: 2*R*pi = 1.5, जहां से: R = 1.5/(2*pi) = 0.2387 मीटर। निकटतम तीलियों के बीच का कोण उनकी संख्या जानकर निर्धारित किया जा सकता है। यह मानते हुए कि सभी 12 तीलियाँ वृत्त को समान रूप से समान क्षेत्रों में विभाजित करती हैं, हमें 12 समान क्षेत्र मिलते हैं। तदनुसार, दोनों तीलियों के बीच चाप का कोणीय माप बराबर है: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0.5236 रेडियन।

हमने सभी आवश्यक मात्राएँ पा ली हैं, अब हम उन्हें सूत्रों में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक मानों की गणना कर सकते हैं। हमें मिलता है: एस 1 = 0.5236 * (0.2387) 2 /2 = 0.0149 मीटर 2, या 149 सेमी 2; एल 1 = 0.5236*0.2387 = 0.125 मीटर, या 12.5 सेमी।