गणित का इतिहास. गणितीय विश्लेषण और आधुनिक दुनिया में इसकी भूमिका आधुनिक गणित की शुरुआत

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गणितीय विश्लेषण गणित की शाखाओं का एक समूह है जो अंतर और अभिन्न कलन के तरीकों द्वारा कार्यों और उनके सामान्यीकरण के अध्ययन के लिए समर्पित है।

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थकावट विधि

घुमावदार आकृतियों के क्षेत्रफल या आयतन का अध्ययन करने की एक प्राचीन विधि।

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विधि इस प्रकार थी: एक निश्चित आकृति का क्षेत्रफल (या आयतन) ज्ञात करने के लिए, अन्य आकृतियों का एक मोनोटोनिक अनुक्रम इस आकृति में फिट किया गया था और यह साबित किया गया था कि उनके क्षेत्र (आयतन) अनिश्चित काल तक वांछित के क्षेत्रफल (आयतन) के करीब पहुंचते हैं। आकृति।

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1696 में, एल'हॉपिटल ने पहली पाठ्यपुस्तक लिखी, जिसमें समतल वक्रों के सिद्धांत पर लागू एक नई विधि की स्थापना की गई। उन्होंने इसे एनालिसिस ऑफ इनफिनिटेसिमल्स कहा, जिससे गणित की नई शाखा को एक नाम दिया गया। परिचय में, एल'हॉपिटल ने डेसकार्टेस, ह्यूजेंस, लीबनिज़ के कार्यों पर ध्यान केंद्रित करते हुए नए विश्लेषण के उद्भव के इतिहास की रूपरेखा तैयार की है, और बाद वाले और बर्नौली भाइयों के प्रति अपना आभार भी व्यक्त किया है।

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"फ़ंक्शन" शब्द पहली बार 1692 में लाइबनिज़ में सामने आया, लेकिन यह यूलर ही था जिसने इसे सामने लाया। किसी फ़ंक्शन की अवधारणा की मूल व्याख्या यह थी कि एक फ़ंक्शन गिनती के लिए एक अभिव्यक्ति या एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है।

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"विश्लेषणात्मक कार्यों का सिद्धांत" ("Th.orie des fonctions analytiques", 1797)। विश्लेषणात्मक कार्यों के सिद्धांत में, लैग्रेंज ने अपना प्रसिद्ध प्रक्षेप सूत्र प्रस्तुत किया, जिसने कॉची को विश्लेषण के लिए एक कठोर आधार विकसित करने के लिए प्रेरित किया।

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फ़र्मेट का महत्वपूर्ण लेम्मा कैलकुलस पाठ्यपुस्तकों में पाया जा सकता है। उन्होंने भिन्नात्मक शक्तियों के विभेदीकरण का सामान्य नियम भी तैयार किया।

पियरे डी फ़र्मेट (17 अगस्त, 1601 - 12 जनवरी, 1665) एक फ्रांसीसी गणितज्ञ थे, जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति, गणितीय विश्लेषण, संभाव्यता सिद्धांत और संख्या सिद्धांत के रचनाकारों में से एक थे। फ़र्मेट ने, लगभग आधुनिक नियमों का उपयोग करते हुए, बीजगणितीय वक्रों की स्पर्शरेखाएँ पाईं।

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रेने डेसकार्टेस (31 मार्च, 1596 - 11 फरवरी, 1650) - फ्रांसीसी गणितज्ञ, दार्शनिक, भौतिक विज्ञानी और शरीर विज्ञानी, विश्लेषणात्मक ज्यामिति और आधुनिक बीजगणितीय प्रतीकवाद के निर्माता। 1637 में, डेसकार्टेस का मुख्य गणितीय कार्य, डिस्कोर्स ऑन मेथड प्रकाशित हुआ। इस पुस्तक ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति प्रस्तुत की, और इसके परिशिष्टों में बीजगणित, ज्यामिति, प्रकाशिकी और बहुत कुछ में कई परिणाम प्रस्तुत किए। विशेष रूप से उल्लेखनीय विएटा का गणितीय प्रतीकवाद है जिसे उन्होंने फिर से तैयार किया: उन्होंने चर और आवश्यक मात्राओं (x, y, z, ...) और अक्षर गुणांक के लिए अब आम तौर पर स्वीकृत संकेत पेश किए। (ए, बी, सी, ...)

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फ्रांकोइस विएटे (1540 -1603) - फ्रांसीसी गणितज्ञ, प्रतीकात्मक बीजगणित के संस्थापक। शिक्षा और मुख्य पेशे से - वकील। 1591 में उन्होंने न केवल अज्ञात मात्राओं के लिए, बल्कि समीकरणों के गुणांकों के लिए भी अक्षर संकेतन की शुरुआत की। वह 2रे, 3रे और 4थे डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए एक समान विधि स्थापित करने के लिए जिम्मेदार थे। खोजों के बीच, विएते ने स्वयं समीकरणों की जड़ों और गुणांकों के बीच संबंध की स्थापना को विशेष रूप से महत्व दिया।

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गैलीलियो गैलिली (15 फरवरी, 1564, पीसा - 8 जनवरी, 1642) - इतालवी भौतिक विज्ञानी, मैकेनिक, खगोलशास्त्री, दार्शनिक और गणितज्ञ, जिनका अपने समय के विज्ञान पर महत्वपूर्ण प्रभाव था, उन्होंने "गैलीलियो विरोधाभास" तैयार किया: जितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं चूँकि उनके वर्ग होते हैं, हालाँकि अधिकांश संख्याएँ वर्ग नहीं होती हैं। इसने अनंत सेटों की प्रकृति और उनके वर्गीकरण पर और अधिक शोध को प्रेरित किया; यह प्रक्रिया सेट सिद्धांत के निर्माण के साथ समाप्त हुई।

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"वाइन बैरल की नई स्टीरियोमेट्री"

जब केप्लर ने शराब खरीदी, तो वह यह देखकर आश्चर्यचकित रह गया कि व्यापारी ने बैरल की क्षमता कैसे निर्धारित की। विक्रेता ने स्टिकस को भागों में लिया, और इसकी मदद से भरने वाले छेद से बैरल के सबसे दूर बिंदु तक की दूरी निर्धारित की। ऐसा करने के बाद, उन्होंने तुरंत बताया कि दिए गए बैरल में कितने लीटर शराब है। इस प्रकार, वैज्ञानिक समस्याओं के एक वर्ग की ओर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति थे, जिनके अध्ययन से इंटीग्रल कैलकुलस का निर्माण हुआ।

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इसलिए, उदाहरण के लिए, टोरस के आयतन का सूत्र खोजने के लिए, केप्लर ने इसे मेरिडियनल खंडों के साथ अनंत वृत्तों में विभाजित किया, जिनकी बाहर की मोटाई अंदर की तुलना में थोड़ी अधिक थी। ऐसे वृत्त का आयतन एक सिलेंडर के आयतन के बराबर होता है जिसका आधार टोरस के क्रॉस-सेक्शन के बराबर होता है और ऊंचाई इसके मध्य भाग में वृत्त की मोटाई के बराबर होती है। यहां से यह तुरंत पता चला कि टोरस का आयतन एक सिलेंडर के आयतन के बराबर है, जिसका आधार क्षेत्र टोरस के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के बराबर है, और ऊंचाई लंबाई के बराबर है वृत्त का, जिसे बिंदु F द्वारा वर्णित किया गया है - टोरस क्रॉस-सेक्शन का केंद्र।

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अविभाज्य विधि

क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने की नई पद्धति का सैद्धांतिक औचित्य 1635 में कैवेलियरी द्वारा प्रस्तावित किया गया था। उन्होंने निम्नलिखित थीसिस को सामने रखा: आकृतियाँ एक-दूसरे से उनकी सभी रेखाओं के रूप में संबंधित होती हैं, जो किसी भी नियमित [समानांतरों के आधार] के अनुसार ली जाती हैं, और पिंड - उनके सभी विमानों के रूप में, किसी भी नियमित के अनुसार लिए जाते हैं।

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उदाहरण के लिए, आइए एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करें। परिधि का सूत्र: ज्ञात माना जाता है। आइए वृत्त (चित्र 1 में बाईं ओर) को अनंत छोटे वलय में विभाजित करें। आइए आधार लंबाई L और ऊंचाई R वाले एक त्रिभुज (चित्र 1 में दाईं ओर) पर भी विचार करें, जो आधार के समानांतर खंडों में विभाजित है। त्रिज्या R और लंबाई का प्रत्येक वलय समान लंबाई के त्रिभुज के किसी एक खंड से जुड़ा हो सकता है। फिर, कैवलियरी के सिद्धांत के अनुसार, उनके क्षेत्र बराबर हैं। और त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना आसान है: .

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प्रेजेंटेशन पर काम किया:

ज़ारकोव अलेक्जेंडर किसेलेवा मरीना रियासोव मिखाइल चेरेड्निचेंको अलीना

सभी स्लाइड देखें

दर्शनशास्त्र को सभी विज्ञानों का केंद्र माना जाता है, क्योंकि इसमें साहित्य, खगोल विज्ञान, साहित्य, प्राकृतिक विज्ञान, गणित और अन्य क्षेत्रों के पहले अंकुर शामिल थे। समय के साथ, प्रत्येक क्षेत्र स्वतंत्र रूप से विकसित हुआ, गणित कोई अपवाद नहीं था। विश्लेषण का पहला "संकेत" अनंत मात्राओं में अपघटन के सिद्धांत को माना जाता है, जिसे कई दिमागों ने समझने की कोशिश की, लेकिन यह अस्पष्ट था और इसका कोई आधार नहीं था। यह विज्ञान के पुराने स्कूल के प्रति लगाव के कारण है, जो अपने फॉर्मूलेशन में सख्त था। आइजैक न्यूटन नींव बनाने के बहुत करीब आ गए, लेकिन तब तक बहुत देर हो चुकी थी। परिणामस्वरूप, गणितीय विश्लेषण एक अलग प्रणाली के रूप में उभरने का श्रेय दार्शनिक गॉटफ्राइड लीबनिज को जाता है। यह वह था जिसने वैज्ञानिक दुनिया को न्यूनतम और अधिकतम, विभक्ति बिंदु और फ़ंक्शन के ग्राफ की उत्तलता जैसी अवधारणाओं से परिचित कराया और अंतर कलन की नींव तैयार की। इस क्षण से, गणित को आधिकारिक तौर पर प्राथमिक और उच्चतर में विभाजित किया गया है।

गणितीय विश्लेषण। हमारे दिन

कोई भी विशेषज्ञता, चाहे वह तकनीकी हो या मानवीय, अध्ययन के दौरान विश्लेषण शामिल है। अध्ययन की गहराई अलग-अलग होती है, लेकिन सार एक ही रहता है। तमाम "अमूर्तता" के बावजूद, यह उन स्तंभों में से एक है जिस पर प्राकृतिक विज्ञान अपनी आधुनिक समझ में टिका हुआ है। उनकी मदद से, भौतिकी और अर्थशास्त्र का विकास हुआ, वह स्टॉक एक्सचेंज की गतिविधियों का वर्णन और भविष्यवाणी करने में सक्षम हैं, और शेयरों का एक इष्टतम पोर्टफोलियो बनाने में मदद करते हैं। गणितीय विश्लेषण का परिचय प्रारंभिक अवधारणाओं पर आधारित है:

• भीड़;
• सेट पर बुनियादी संचालन;
• सेट पर संचालन के गुण;
• फ़ंक्शंस (अन्यथा मैपिंग के रूप में जाना जाता है);
• कार्यों के प्रकार;
• अनुक्रम;
• संख्या रेखाएँ;
• अनुक्रम सीमा;
• सीमा के गुण;
• कार्य की निरंतरता.

समुच्चय, बिंदु, सीधी रेखा, तल जैसी अवधारणाओं को अलग से उजागर करना उचित है। उन सभी की कोई परिभाषा नहीं है, क्योंकि वे मूल अवधारणाएँ हैं जिन पर सारा गणित बना है। इस प्रक्रिया में केवल यह समझाया जा सकता है कि व्यक्तिगत मामलों में उनका वास्तव में क्या मतलब है।

एक निरंतरता के रूप में सीमित करें

गणितीय विश्लेषण के मूल सिद्धांतों में सीमा शामिल है। व्यवहार में, यह उस मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है जिसके लिए एक अनुक्रम या फ़ंक्शन प्रयास करता है, वांछित के करीब आता है, लेकिन उस तक नहीं पहुंचता है। इसे लिम के रूप में दर्शाया गया है; फ़ंक्शन की सीमा के एक विशेष मामले पर विचार करें: x→1 के लिए lim (x-1)= 0। इस सरलतम उदाहरण से यह स्पष्ट है कि x→1 के रूप में संपूर्ण फ़ंक्शन 0 की ओर प्रवृत्त होता है, क्योंकि यदि हम फ़ंक्शन में सीमा को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें (1-1)=0 मिलता है। अधिक विस्तृत जानकारी, प्राथमिक से लेकर जटिल विशेष मामलों तक, विश्लेषण की एक तरह की "बाइबिल" में प्रस्तुत की जाती है - फिचटेनहोल्ट्ज़ की कृतियाँ। यह गणितीय विश्लेषण, सीमाओं, उनकी व्युत्पत्ति और आगे के अनुप्रयोग की जांच करता है। उदाहरण के लिए, सीमा के सिद्धांत के बिना संख्या ई (यूलर स्थिरांक) की व्युत्पत्ति असंभव होगी। सिद्धांत की गतिशील अमूर्तता के बावजूद, अर्थशास्त्र और समाजशास्त्र में व्यवहार में सीमाओं का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, बैंक जमा पर ब्याज की गणना करते समय आप उनके बिना काम नहीं कर सकते।

परिचय

एल. यूलर इतिहास के सबसे उत्पादक गणितज्ञ हैं, गणितीय विश्लेषण, विभेदक ज्यामिति, संख्या सिद्धांत, अनुमानित गणना, आकाशीय यांत्रिकी, गणितीय भौतिकी, प्रकाशिकी, बैलिस्टिक, जहाज निर्माण, संगीत सिद्धांत आदि पर 800 से अधिक कार्यों के लेखक हैं। उनके कार्यों का विज्ञान के विकास पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा।

यूलर ने अपना लगभग आधा जीवन रूस में बिताया, जहाँ उन्होंने रूसी विज्ञान के निर्माण में ऊर्जावान रूप से मदद की। 1726 में उन्हें सेंट पीटर्सबर्ग में काम करने के लिए आमंत्रित किया गया था। 1731-1741 में और 1766 से शुरू करके वह सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के शिक्षाविद थे (1741-1766 में उन्होंने बर्लिन में काम किया, सेंट पीटर्सबर्ग अकादमी के मानद सदस्य बने रहे)। वह रूसी भाषा को अच्छी तरह से जानते थे और उन्होंने अपने कुछ काम (विशेषकर पाठ्यपुस्तकें) रूसी में प्रकाशित किए। गणित (एस.के. कोटेलनिकोव) और खगोल विज्ञान (एस.या. रुमोव्स्की) में पहले रूसी शिक्षाविद यूलर के छात्र थे। उनके कुछ वंशज अभी भी रूस में रहते हैं।

एल. यूलर ने गणितीय विश्लेषण के विकास में बहुत बड़ा योगदान दिया।

निबंध का उद्देश्य 18वीं शताब्दी में गणितीय विश्लेषण के विकास के इतिहास का अध्ययन करना है।

गणितीय विश्लेषण की अवधारणा. ऐतिहासिक रेखाचित्र

गणितीय विश्लेषण गणित की शाखाओं का एक समूह है जो अंतर और अभिन्न कलन के तरीकों द्वारा कार्यों और उनके सामान्यीकरण के अध्ययन के लिए समर्पित है। इस तरह की सामान्य व्याख्या के साथ, विश्लेषण में लेबेस्ग इंटीग्रल, जटिल विश्लेषण (टीएफसीए) के सिद्धांत के साथ-साथ कार्यात्मक विश्लेषण भी शामिल होना चाहिए, जो जटिल विमान पर परिभाषित कार्यों का अध्ययन करता है, गैर-मानक विश्लेषण, जो अनंत और असीम रूप से बड़ी संख्याओं का अध्ययन करता है, जैसे साथ ही विविधताओं की गणना।

शैक्षिक प्रक्रिया में विश्लेषण भी शामिल है

· अंतर और अभिन्न कलन

· श्रृंखला का सिद्धांत (कार्यात्मक, शक्ति और फूरियर) और बहुआयामी अभिन्न

· वेक्टर विश्लेषण.

साथ ही, कार्यात्मक विश्लेषण के तत्व और लेबेस्ग इंटीग्रल का सिद्धांत वैकल्पिक रूप से दिया जाता है, और टीएफकेपी, विविधताओं की गणना, और अंतर समीकरणों के सिद्धांत को अलग-अलग पाठ्यक्रमों में पढ़ाया जाता है। प्रस्तुति की कठोरता 19वीं सदी के अंत के पैटर्न का अनुसरण करती है और विशेष रूप से अनुभवहीन सेट सिद्धांत का उपयोग करती है।

गणितीय विश्लेषण के पूर्ववर्ती थकावट की प्राचीन विधि और अविभाज्य की विधि थे। विश्लेषण सहित सभी तीन दिशाएँ, एक सामान्य प्रारंभिक विचार से संबंधित हैं: अनंत तत्वों में अपघटन, जिसकी प्रकृति, हालांकि, विचार के लेखकों के लिए अस्पष्ट थी। बीजगणितीय दृष्टिकोण (इनफिनिटेसिमल कैलकुलस) वालिस, जेम्स ग्रेगरी और बैरो के साथ दिखाई देने लगता है। एक प्रणाली के रूप में नया कैलकुलस पूरी तरह से न्यूटन द्वारा बनाया गया था, जिन्होंने, हालांकि, लंबे समय तक अपनी खोजों को प्रकाशित नहीं किया। न्यूटन I. गणितीय कार्य। एम, 1937.

डिफरेंशियल कैलकुलस की आधिकारिक जन्म तिथि मई 1684 मानी जा सकती है, जब लाइबनिज ने पहला लेख "मैक्सिमा और मिनिमा की एक नई विधि..." प्रकाशित किया था। लाइबनिज // एक्टा इरोडिटोरम, 1684। एल.एम.एस., खंड वी, पी। 220--226. रूस. अनुवाद: उसपेखी मत। विज्ञान, खंड 3, वी. 1 (23), पृ. 166--173.. यह लेख, संक्षिप्त और दुर्गम रूप में, डिफरेंशियल कैलकुलस नामक एक नई विधि के सिद्धांतों को निर्धारित करता है।

17वीं शताब्दी के अंत में, लीबनिज़ के चारों ओर एक चक्र उभरा, जिसके सबसे प्रमुख प्रतिनिधि बर्नौली भाई, जैकब और जोहान और एल'हॉपिटल थे। 1696 में, आई. बर्नौली के व्याख्यानों का उपयोग करते हुए, एल'हॉपिटल ने पहली एल'हॉपिटल पाठ्यपुस्तक लिखी। अनन्तसूक्ष्मों का विश्लेषण। एम.-एल.: जीटीटीआई, 1935., समतल वक्रों के सिद्धांत पर लागू एक नई विधि की व्याख्या। उन्होंने इसे "इन्फिनिटेसिमल एनालिसिस" कहा, जिससे गणित की नई शाखा को एक नाम दिया गया। प्रस्तुति परिवर्तनीय मात्राओं की अवधारणा पर आधारित है, जिनके बीच कुछ संबंध है, जिसके कारण एक में परिवर्तन से दूसरे में परिवर्तन होता है। एल'हॉपिटल में, यह कनेक्शन समतल वक्रों का उपयोग करके दिया गया है: यदि एम एक समतल वक्र का गतिमान बिंदु है, तो इसके कार्तीय निर्देशांक x और y, जिन्हें वक्र का व्यास और कोटि कहा जाता है, चर हैं, और x में परिवर्तन आवश्यक है वाई में बदलाव फ़ंक्शन की अवधारणा अनुपस्थित है: यह कहना चाहते हैं कि चर की निर्भरता दी गई है, एल'हॉपिटल का कहना है कि "वक्र की प्रकृति ज्ञात है।" विभेदक की अवधारणा इस प्रकार प्रस्तुत की गई है:

“वह अपरिमित भाग जिसके द्वारा एक परिवर्तनीय राशि लगातार बढ़ती या घटती है, उसका अंतर कहलाता है... एक परिवर्तनीय मात्रा के अंतर को दर्शाने के लिए, जो स्वयं एक अक्षर द्वारा व्यक्त किया जाता है, हम चिह्न या प्रतीक डी का उपयोग करेंगे। ठीक वहीं। अध्याय 1, परिभाषा 2http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8 %D1 %87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 - उद्धरण_नोट -4 #उद्धरण_नोट-4...वह अपरिमित भाग जिसके द्वारा किसी चर मान का अंतर लगातार बढ़ता या घटता है, उसे...दूसरा अंतर कहा जाता है।'' ठीक वहीं। अध्याय 4, परिभाषा 1.

इन परिभाषाओं को ज्यामितीय रूप से समझाया गया है, चित्र में अनंत लघु वृद्धि को सीमित के रूप में दर्शाया गया है। विचार दो आवश्यकताओं (स्वयंसिद्ध) पर आधारित है। पहला:

यह आवश्यक है कि दो मात्राएँ जो एक-दूसरे से केवल बहुत छोटी राशि से भिन्न हों, उन्हें दूसरे के बजाय उदासीनता से लिया जा सकता है। एल हॉस्पिटल. अनन्तसूक्ष्मों का विश्लेषण। एम.-एल.: जीटीटीआई, 1935। अध्याय 1, आवश्यकता 1।

dxy = (x + dx)(y + dy) ? xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

और इसी तरह। विभेदन नियम. दूसरी आवश्यकता बताती है:

यह आवश्यक है कि कोई एक घुमावदार रेखा को अनंत संख्या में अत्यंत छोटी सीधी रेखाओं के संग्रह के रूप में मान सके।

ऐसी प्रत्येक रेखा की निरंतरता को वक्र की स्पर्शरेखा कहा जाता है। ठीक वहीं। अध्याय दो। पराजित. बिंदु M = (x,y) से गुजरने वाली स्पर्शरेखा की जांच करते हुए, L'Hopital मात्रा को बहुत महत्व देता है

वक्र के विभक्ति बिंदुओं पर चरम मान तक पहुँचना, लेकिन dy से dx के अनुपात को कोई विशेष महत्व नहीं दिया जाता है।

चरम बिंदुओं को खोजना उल्लेखनीय है। यदि, व्यास x में निरंतर वृद्धि के साथ, कोटि y पहले बढ़ती है और फिर घटती है, तो अंतर dy पहले dx की तुलना में सकारात्मक होता है, और फिर नकारात्मक होता है।

लेकिन कोई भी लगातार बढ़ता या घटता मूल्य अनंत या शून्य से गुजरे बिना सकारात्मक से नकारात्मक में नहीं बदल सकता... इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य का अंतर शून्य या अनंत के बराबर होना चाहिए।

यह सूत्रीकरण शायद दोषरहित नहीं है, यदि हम पहली आवश्यकता को याद रखें: मान लीजिए, y = x2, तो पहली आवश्यकता के आधार पर

2xdx + dx2 = 2xdx;

शून्य पर, दाईं ओर शून्य है और बाईं ओर नहीं है। जाहिरा तौर पर यह कहा जाना चाहिए था कि डाई को पहली आवश्यकता के अनुसार रूपांतरित किया जा सकता है ताकि अधिकतम बिंदु पर डाई = 0 हो। उदाहरणों में सब कुछ स्व-व्याख्यात्मक है, और केवल विभक्ति बिंदुओं के सिद्धांत में एल'हॉपिटल लिखता है कि डाई अधिकतम बिंदु पर शून्य के बराबर है, जिसे dx L'Hopital से विभाजित किया जाता है। अनन्तसूक्ष्मों का विश्लेषण। एम.-एल.: जीटीटीआई, 1935 § 46।

इसके अलावा, केवल विभेदकों की मदद से, चरम स्थितियां तैयार की जाती हैं और मुख्य रूप से विमान पर विभेदक ज्यामिति से संबंधित बड़ी संख्या में जटिल समस्याओं पर विचार किया जाता है। पुस्तक के अंत में, अध्याय में। 10, वह निर्धारित करता है जिसे अब एल'हॉपिटल का नियम कहा जाता है, यद्यपि एक असामान्य रूप में। मान लीजिए कि वक्र की कोटि y को एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है जिसका अंश और हर x = a पर लुप्त हो जाते हैं। फिर x = a वाले वक्र के बिंदु की कोटि y है जो अंश के अंतर और x = a पर लिए गए हर के अंतर के अनुपात के बराबर है।

एल'हॉपिटल की योजना के अनुसार, उन्होंने जो लिखा वह "विश्लेषण" का पहला भाग था, जबकि दूसरे में इंटीग्रल कैलकुलस शामिल था, यानी, उनके अंतरों के ज्ञात कनेक्शन के आधार पर चर के बीच संबंध खोजने की एक विधि। इसकी पहली प्रस्तुति जोहान बर्नौली ने अपने "मैथमैटिकल लेक्चर्स ऑन द मेथड ऑफ इंटीग्रल" बर्नौली, जोहान में दी थी। सबसे पहले इंटेग्रेल्रेचनुग। लीपज़िग-बर्लिन, 1914। यहां अधिकांश प्रारंभिक इंटीग्रल लेने के लिए एक विधि दी गई है और कई प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों का संकेत दिया गया है।

अरबी बल्गेरियाई चीनी क्रोएशियाई चेक डेनिश डच अंग्रेजी एस्टोनियाई फिनिश फ्रेंच जर्मन ग्रीक हिब्रू हिंदी हंगेरियन आइसलैंडिक इंडोनेशियाई इतालवी जापानी कोरियाई लातवियाई लिथुआनियाई मालागासी नॉर्वेजियन फ़ारसी पोलिश पुर्तगाली रोमानियाई रूसी सर्बियाई स्लोवाक स्लोवेनियाई स्पेनिश स्वीडिश थाई तुर्की वियतनामी

परिभाषा - गणितीय_विश्लेषण

शैक्षिक प्रक्रिया में, विश्लेषण में शामिल हैं:

साथ ही, कार्यात्मक विश्लेषण के तत्व और लेबेस्ग इंटीग्रल का सिद्धांत वैकल्पिक रूप से दिया जाता है, और टीएफकेपी, विविधताओं की गणना, और अंतर समीकरणों के सिद्धांत को अलग-अलग पाठ्यक्रमों में पढ़ाया जाता है। प्रस्तुति की कठोरता 19वीं सदी के अंत के पैटर्न का अनुसरण करती है और विशेष रूप से अनुभवहीन सेट सिद्धांत का उपयोग करती है।

रूसी संघ के विश्वविद्यालयों में पढ़ाए जाने वाले विश्लेषण पाठ्यक्रम का कार्यक्रम मोटे तौर पर एंग्लो-अमेरिकन पाठ्यक्रम "कैलकुलस" के कार्यक्रम से मेल खाता है।

कहानी

गणितीय विश्लेषण के पूर्ववर्ती थकावट की प्राचीन विधि और अविभाज्य की विधि थे। विश्लेषण सहित सभी तीन दिशाएँ, एक सामान्य प्रारंभिक विचार से संबंधित हैं: अनंत तत्वों में अपघटन, जिसकी प्रकृति, हालांकि, विचार के लेखकों को अस्पष्ट लगती थी। बीजगणितीय दृष्टिकोण ( इनफिनिटसिमल कैलकुलस) वालिस, जेम्स ग्रेगरी और बैरो में दिखाई देने लगता है। एक प्रणाली के रूप में नया कैलकुलस पूरी तरह से न्यूटन द्वारा बनाया गया था, जिन्होंने, हालांकि, लंबे समय तक अपनी खोजों को प्रकाशित नहीं किया।

डिफरेंशियल कैलकुलस की आधिकारिक जन्म तिथि मई मानी जा सकती है, जब लाइबनिज ने अपना पहला लेख प्रकाशित किया था "ऊंचाई और नीची का एक नया तरीका...". यह लेख, संक्षिप्त और अप्राप्य रूप में, डिफरेंशियल कैलकुलस नामक एक नई विधि के सिद्धांतों को निर्धारित करता है।

लीबनिज़ और उनके छात्र

इन परिभाषाओं को ज्यामितीय रूप से समझाया गया है, जबकि चित्र में। अतिसूक्ष्म वृद्धि को परिमित के रूप में दर्शाया गया है। विचार दो आवश्यकताओं (स्वयंसिद्ध) पर आधारित है। पहला:

यह आवश्यक है कि दो मात्राएँ जो एक दूसरे से केवल एक अनंत राशि से भिन्न हों, उन्हें [अभिव्यक्ति को सरल बनाते समय?] दूसरे के बजाय उदासीनता से लिया जा सकता है।

ऐसी प्रत्येक रेखा की निरंतरता को वक्र की स्पर्शरेखा कहा जाता है। बिंदु से गुजरने वाली स्पर्शरेखा की जांच करते हुए, एल'हॉपिटल मात्रा को बहुत महत्व देता है

,

वक्र के विभक्ति बिंदुओं पर चरम मान तक पहुंचना, जबकि संबंध को कोई विशेष महत्व नहीं दिया जाता है।

चरम बिंदुओं को खोजना उल्लेखनीय है। यदि, व्यास में निरंतर वृद्धि के साथ, कोटि पहले बढ़ती है और फिर घटती है, तो अंतर पहले की तुलना में सकारात्मक होता है, और फिर नकारात्मक होता है।

लेकिन कोई भी लगातार बढ़ता या घटता मूल्य अनंत या शून्य से गुजरे बिना सकारात्मक से नकारात्मक में नहीं बदल सकता... इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य का अंतर शून्य या अनंत के बराबर होना चाहिए।

यह सूत्रीकरण संभवतः दोषरहित नहीं है, यदि हम पहली आवश्यकता को याद रखें: मान लीजिए, मान लीजिए, तो पहली आवश्यकता के आधार पर

;

शून्य पर, दाईं ओर शून्य है और बाईं ओर नहीं है। जाहिर तौर पर यह कहा जाना चाहिए था कि इसे पहली आवश्यकता के अनुसार अधिकतम बिंदु पर रूपांतरित किया जा सकता है। . उदाहरणों में, सब कुछ स्व-व्याख्यात्मक है, और केवल विभक्ति बिंदुओं के सिद्धांत में एल'हॉपिटल लिखता है कि यह अधिकतम बिंदु पर शून्य के बराबर है, जिसे विभाजित किया जा रहा है।

इसके अलावा, केवल विभेदकों की मदद से, चरम स्थितियां तैयार की जाती हैं और मुख्य रूप से विमान पर विभेदक ज्यामिति से संबंधित बड़ी संख्या में जटिल समस्याओं पर विचार किया जाता है। पुस्तक के अंत में, अध्याय में। 10, वह निर्धारित करता है जिसे अब एल'हॉपिटल का नियम कहा जाता है, यद्यपि एक असामान्य रूप में। मान लीजिए कि वक्र की कोटि को एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका अंश और हर गायब हो जाता है। तब वक्र c के बिंदु की कोटि अंश के अंतर और हर के अंतर के अनुपात के बराबर होती है।

एल'हॉपिटल की योजना के अनुसार, उन्होंने जो लिखा वह विश्लेषण का पहला भाग था, जबकि दूसरे में इंटीग्रल कैलकुलस शामिल था, यानी, उनके अंतरों के ज्ञात कनेक्शन के आधार पर चर के बीच संबंध खोजने की एक विधि। इसकी पहली प्रस्तुति जोहान बर्नौली ने अपने में दी थी अभिन्न विधि पर गणितीय व्याख्यान. यहां अधिकांश प्राथमिक इंटीग्रल लेने के लिए एक विधि दी गई है और कई प्रथम-क्रम विभेदक समीकरणों को हल करने की विधियां इंगित की गई हैं।

नई पद्धति की व्यावहारिक उपयोगिता और सरलता की ओर इशारा करते हुए लीबनिज ने लिखा:

इस कैलकुलस में पारंगत व्यक्ति सीधे तीन पंक्तियों में जो प्राप्त कर सकता है, उसे अन्य विद्वानों को जटिल चक्कर लगाकर खोजने के लिए मजबूर होना पड़ता है।

यूलर

अगली आधी सदी में जो परिवर्तन हुए वे यूलर के व्यापक ग्रंथ में परिलक्षित होते हैं। विश्लेषण की प्रस्तुति दो-खंड "परिचय" के साथ शुरू होती है, जिसमें प्राथमिक कार्यों के विभिन्न अभ्यावेदन पर शोध शामिल है। शब्द "फ़ंक्शन" सबसे पहले केवल लाइबनिज़ में ही प्रकट होता है, लेकिन यह यूलर ही थे जिन्होंने इसे पहले स्थान पर रखा था। फ़ंक्शन की अवधारणा की मूल व्याख्या यह थी कि फ़ंक्शन गिनती के लिए एक अभिव्यक्ति है (जर्मन)। Rechnungsausdrϋck) या विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति.

एक परिवर्तनीय मात्रा फ़ंक्शन एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है जो किसी तरह से इस चर मात्रा और संख्याओं या स्थिर मात्राओं से बनी होती है।

इस बात पर जोर देते हुए कि "कार्यों के बीच मुख्य अंतर उनके चर और स्थिरांक से बने होने के तरीके में निहित है," यूलर उन क्रियाओं को सूचीबद्ध करता है "जिनके माध्यम से मात्राओं को एक दूसरे के साथ जोड़ा और मिश्रित किया जा सकता है;" ये क्रियाएं हैं: जोड़ और घटाव, गुणा और भाग, घातांक और जड़ों का निष्कर्षण; इसमें [बीजगणितीय] समीकरणों का समाधान भी शामिल होना चाहिए। इन संक्रियाओं के अलावा, जिन्हें बीजगणितीय कहा जाता है, कई अन्य, पारलौकिक, जैसे: घातीय, लघुगणकीय और अनगिनत अन्य हैं, जो इंटीग्रल कैलकुलस द्वारा दिए गए हैं। इस व्याख्या ने बहु-मूल्यवान कार्यों को आसानी से संभालना संभव बना दिया और इस बात की व्याख्या की आवश्यकता नहीं थी कि किस क्षेत्र में फ़ंक्शन पर विचार किया जा रहा था: गिनती की अभिव्यक्ति को चर के जटिल मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया था, तब भी जब यह समस्या के लिए आवश्यक नहीं था सोच-विचार।

अभिव्यक्ति में संचालन की अनुमति केवल सीमित संख्याओं में दी गई थी, और पारलौकिक को असीम रूप से बड़ी संख्या की मदद से प्रवेश दिया गया था। व्यंजकों में इस संख्या का प्रयोग प्राकृत संख्याओं के साथ किया जाता है। उदाहरण के लिए, घातांक के लिए ऐसी अभिव्यक्ति स्वीकार्य मानी जाती है

,

जिसमें केवल बाद के लेखकों ने ही अंतिम परिवर्तन देखा। विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों के साथ विभिन्न परिवर्तन किए गए, जिससे यूलर को श्रृंखला, अनंत उत्पादों आदि के रूप में प्राथमिक कार्यों के लिए प्रतिनिधित्व खोजने की अनुमति मिली। यूलर गिनती के लिए अभिव्यक्तियों को बदल देता है जैसा कि वे बीजगणित में करते हैं, मूल्य की गणना की संभावना पर ध्यान दिए बिना लिखित सूत्रों से प्रत्येक के लिए एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन।

एल'हॉपिटल के विपरीत, यूलर पारलौकिक कार्यों और विशेष रूप से उनके दो सबसे अधिक अध्ययन किए गए वर्गों - घातीय और त्रिकोणमितीय की विस्तार से जांच करता है। उन्होंने पाया कि सभी प्रारंभिक कार्यों को अंकगणितीय संक्रियाओं और दो संक्रियाओं का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है - लघुगणक और घातांक को लेते हुए।

प्रमाण स्वयं असीम रूप से बड़े का उपयोग करने की तकनीक को पूरी तरह से प्रदर्शित करता है। त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके साइन और कोसाइन को परिभाषित करने के बाद, यूलर ने अतिरिक्त सूत्रों से निम्नलिखित प्राप्त किया:

और मान लेने पर, उसे मिल जाता है

,

उच्च क्रम की अतिसूक्ष्म मात्राओं को त्यागना। इस और इसी तरह की अभिव्यक्ति का उपयोग करके, यूलर ने अपना प्रसिद्ध सूत्र प्राप्त किया

.

कार्यों के लिए विभिन्न अभिव्यक्तियों को इंगित करने के बाद, जिन्हें अब प्राथमिक कहा जाता है, यूलर हाथ की मुक्त गति द्वारा खींचे गए विमान पर वक्रों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ता है। उनकी राय में, ऐसे प्रत्येक वक्र के लिए एक एकल विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति ढूंढना संभव नहीं है (स्ट्रिंग विवाद भी देखें)। 19वीं शताब्दी में, कैसोराती के कहने पर, इस कथन को ग़लत माना गया: वीयरस्ट्रैस के प्रमेय के अनुसार, आधुनिक अर्थों में किसी भी निरंतर वक्र को लगभग बहुपदों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। वास्तव में, यूलर शायद ही इस बात से आश्वस्त था, क्योंकि उसे अभी भी प्रतीक का उपयोग करके सीमा तक मार्ग को फिर से लिखना था।

यूलर ने अंतर कलन की अपनी प्रस्तुति परिमित अंतर के सिद्धांत के साथ शुरू की, इसके बाद तीसरे अध्याय में एक दार्शनिक व्याख्या दी गई कि "एक अतिसूक्ष्म मात्रा बिल्कुल शून्य है," जो कि ज्यादातर यूलर के समकालीनों के अनुरूप नहीं थी। फिर, अंतर एक अनंत वृद्धि पर परिमित अंतर से और न्यूटन के प्रक्षेप सूत्र - टेलर के सूत्र से बनते हैं। यह विधि मूलतः टेलर (1715) के कार्य पर आधारित है। इस मामले में, यूलर का एक स्थिर संबंध है, जिसे, हालांकि, दो अनंतिमों के संबंध के रूप में माना जाता है। अंतिम अध्याय श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित गणना के लिए समर्पित हैं।

तीन-खंड इंटीग्रल कैलकुलस में, यूलर इंटीग्रल की अवधारणा की व्याख्या और परिचय इस प्रकार करता है:

जिस फलन का अवकलन उसका समाकलन कहलाता है और उसे सामने रखे चिह्न से निरूपित किया जाता है।

सामान्य तौर पर, यूलर के ग्रंथ का यह भाग आधुनिक दृष्टिकोण से अधिक सामान्य, अंतर समीकरणों के एकीकरण की समस्या के लिए समर्पित है। साथ ही, यूलर को कई अभिन्न और विभेदक समीकरण मिलते हैं जो नए कार्यों को जन्म देते हैं, उदाहरण के लिए, -फ़ंक्शन, अण्डाकार फ़ंक्शन इत्यादि। उनकी गैर-प्राथमिकता का एक कठोर प्रमाण 1830 के दशक में जैकोबी द्वारा अण्डाकार कार्यों के लिए दिया गया था और लिउविल द्वारा (प्राथमिक कार्य देखें)।

लैग्रेंज

विश्लेषण की अवधारणा के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाने वाला अगला प्रमुख कार्य था विश्लेषणात्मक कार्यों का सिद्धांतलैग्रेंज और लैक्रोइक्स द्वारा कुछ हद तक उदार तरीके से लैग्रेंज के काम की व्यापक पुनर्कथन।

अनंतसूक्ष्म से पूरी तरह छुटकारा पाना चाहते हुए, लैग्रेंज ने डेरिवेटिव और टेलर श्रृंखला के बीच संबंध को उलट दिया। विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन द्वारा लैग्रेंज ने विश्लेषणात्मक तरीकों से अध्ययन किए गए एक मनमाने फ़ंक्शन को समझा। उन्होंने निर्भरता को लिखने का एक ग्राफिकल तरीका देते हुए फ़ंक्शन को स्वयं के रूप में नामित किया - पहले यूलर केवल वेरिएबल्स के साथ काम करता था। लैग्रेंज के अनुसार, विश्लेषण विधियों को लागू करने के लिए, यह आवश्यक है कि फ़ंक्शन को एक श्रृंखला में विस्तारित किया जाए

,

जिनके गुणांक नये फलन होंगे। इसे व्युत्पन्न (अंतर गुणांक) कहना और इसे इस रूप में निरूपित करना बाकी है। इस प्रकार, व्युत्पन्न की अवधारणा को ग्रंथ के दूसरे पृष्ठ पर और इनफिनिटिमल्स की सहायता के बिना पेश किया गया है। इस बात पर गौर करना बाकी है

,

इसलिए गुणांक व्युत्पन्न के व्युत्पन्न से दोगुना है, अर्थात

वगैरह।

व्युत्पन्न की अवधारणा की व्याख्या के लिए यह दृष्टिकोण आधुनिक बीजगणित में उपयोग किया जाता है और वीयरस्ट्रैस के विश्लेषणात्मक कार्यों के सिद्धांत के निर्माण के आधार के रूप में कार्य करता है।

लैग्रेंज ने औपचारिक श्रृंखलाओं के साथ काम किया और कई उल्लेखनीय प्रमेय प्राप्त किए। विशेष रूप से, पहली बार और काफी कठोरता से उन्होंने औपचारिक शक्ति श्रृंखला में सामान्य अंतर समीकरणों के लिए प्रारंभिक समस्या की समाधानशीलता को साबित किया।

टेलर श्रृंखला के आंशिक योगों द्वारा प्रदान किए गए अनुमानों की सटीकता का आकलन करने का प्रश्न सबसे पहले लैग्रेंज द्वारा उठाया गया था: अंत में विश्लेषणात्मक कार्यों के सिद्धांतउन्होंने वह व्युत्पन्न किया जिसे अब लैग्रेंज रूप में शेष पद के साथ टेलर का सूत्र कहा जाता है। हालाँकि, आधुनिक लेखकों के विपरीत, लैग्रेंज ने टेलर श्रृंखला के अभिसरण को उचित ठहराने के लिए इस परिणाम का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं देखी।

यह प्रश्न कि क्या विश्लेषण में प्रयुक्त कार्यों को वास्तव में एक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, बाद में बहस का विषय बन गया। बेशक, लैग्रेंज को पता था कि कुछ बिंदुओं पर प्राथमिक कार्यों को एक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित नहीं किया जा सकता है, लेकिन इन बिंदुओं पर वे किसी भी अर्थ में भिन्न नहीं हैं। उसके में कॉची बीजगणितीय विश्लेषणफ़ंक्शन को प्रतिउदाहरण के रूप में उद्धृत किया गया

शून्य पर शून्य द्वारा बढ़ाया गया। यह फ़ंक्शन वास्तविक अक्ष पर हर जगह सुचारू है और शून्य पर इसकी शून्य मैकलॉरिन श्रृंखला होती है, जो इसलिए, मान में परिवर्तित नहीं होती है। इस उदाहरण के विरुद्ध, पॉइसन ने आपत्ति जताई कि लैग्रेंज ने फ़ंक्शन को एकल विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के रूप में परिभाषित किया है, जबकि कॉची के उदाहरण में फ़ंक्शन को शून्य और पर अलग-अलग परिभाषित किया गया है। केवल 19वीं सदी के अंत में प्रिंग्सहेम ने साबित किया कि एक एकल अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया एक असीम रूप से भिन्न कार्य है, जिसके लिए मैकलॉरिन श्रृंखला अलग हो जाती है। ऐसे फ़ंक्शन का एक उदाहरण अभिव्यक्ति है

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इससे आगे का विकास

19वीं शताब्दी के अंतिम तीसरे में, वीयरस्ट्रैस ने ज्यामितीय औचित्य को अपर्याप्त मानते हुए विश्लेषण का अंकगणित किया, और ε-δ भाषा के माध्यम से सीमा की एक शास्त्रीय परिभाषा प्रस्तावित की। उन्होंने वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का पहला कठोर सिद्धांत भी बनाया। उसी समय, रीमैन इंटीग्रेबिलिटी प्रमेय में सुधार करने के प्रयासों से वास्तविक कार्यों के असंतोष के वर्गीकरण का निर्माण हुआ। "पैथोलॉजिकल" उदाहरण भी खोजे गए (निरंतर कार्य जो कहीं भी भिन्न नहीं होते, स्थान भरने वाले वक्र)। इस संबंध में, जॉर्डन ने माप सिद्धांत विकसित किया, और कैंटर ने सेट सिद्धांत विकसित किया, और 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, उनकी मदद से गणितीय विश्लेषण को औपचारिक रूप दिया गया। 20वीं सदी का एक और महत्वपूर्ण विकास विश्लेषण को उचित ठहराने के वैकल्पिक दृष्टिकोण के रूप में गैर-मानक विश्लेषण का विकास था।

गणितीय विश्लेषण के अनुभाग

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ग्रन्थसूची

विश्वकोश लेख

शैक्षणिक साहित्य

मानक पाठ्यपुस्तकें

कई वर्षों से, निम्नलिखित पाठ्यपुस्तकें रूस में लोकप्रिय रही हैं:

कुछ विश्वविद्यालयों की अपनी विश्लेषण मार्गदर्शिकाएँ होती हैं:

• एक तकनीकी विश्वविद्यालय में गणित 21 खंडों में पाठ्यपुस्तकों का संग्रह।

• बोगदानोव यू.एस.गणितीय विश्लेषण पर व्याख्यान (दो भागों में)। - मिन्स्क: बीएसयू, 1974. - 357 पी।

उन्नत पाठ्यपुस्तकें

पाठ्यपुस्तकें:

• रुडिन यू.गणितीय विश्लेषण के मूल सिद्धांत। एम., 1976 - एक छोटी सी किताब, बहुत स्पष्ट और संक्षिप्त रूप से लिखी गई।

बढ़ी हुई कठिनाई की समस्याएँ:

• जी. पोलिया, जी. सेज,विश्लेषण से समस्याएँ और प्रमेय।

गणितीय विश्लेषण का इतिहास

18वीं सदी को अक्सर वैज्ञानिक क्रांति की सदी कहा जाता है, जिसने आज तक समाज के विकास को निर्धारित किया। यह क्रांति 17वीं शताब्दी में की गई उल्लेखनीय गणितीय खोजों पर आधारित थी और अगली शताब्दी में इसे और आगे बढ़ाया गया। “भौतिक जगत में एक भी वस्तु नहीं है और आत्मा के क्षेत्र में एक भी विचार नहीं है जो 18वीं शताब्दी की वैज्ञानिक क्रांति के प्रभाव से प्रभावित न हो। आधुनिक सभ्यता का एक भी तत्व यांत्रिकी के सिद्धांतों के बिना, विश्लेषणात्मक ज्यामिति और अंतर कलन के बिना मौजूद नहीं हो सकता है। मानव गतिविधि की एक भी शाखा ऐसी नहीं है जो गैलीलियो, डेसकार्टेस, न्यूटन और लाइबनिज़ की प्रतिभा से बहुत अधिक प्रभावित न हुई हो। फ्रांसीसी गणितज्ञ ई. बोरेल (1871 - 1956) के 1914 में कहे गए ये शब्द हमारे समय में भी प्रासंगिक बने हुए हैं। कई महान वैज्ञानिकों ने गणितीय विश्लेषण के विकास में योगदान दिया: आई. केप्लर (1571 -1630), आर. डेसकार्टेस (1596 -1650), पी. फ़र्मेट (1601 -1665), बी. पास्कल (1623 -1662), एच. ह्यूजेंस (1629 -1695), आई. बैरो (1630 -1677), भाई जे. बर्नौली (1654 -1705) और आई. बर्नौली (1667 -1748) और अन्य।

हमारे आस-पास की दुनिया को समझने और उसका वर्णन करने में इन हस्तियों का नवाचार:

गति, परिवर्तन और परिवर्तनशीलता (जीवन अपनी गतिशीलता और विकास के साथ प्रवेश कर चुका है);

सांख्यिकीय कास्ट और उसकी स्थितियों की एक बार की तस्वीरें।

17वीं और 17वीं शताब्दी की गणितीय खोजों को चर और कार्य, निर्देशांक, ग्राफ, वेक्टर, व्युत्पन्न, अभिन्न, श्रृंखला और अंतर समीकरण जैसी अवधारणाओं का उपयोग करके परिभाषित किया गया था।

पास्कल, डेसकार्टेस और लीबनिज उतने गणितज्ञ नहीं थे जितने दार्शनिक थे। यह उनकी गणितीय खोजों का सार्वभौमिक मानवीय और दार्शनिक अर्थ है जो अब मुख्य मूल्य का गठन करता है और सामान्य संस्कृति का एक आवश्यक तत्व है।

गंभीर दर्शन और गंभीर गणित दोनों को संबंधित भाषा में महारत हासिल किए बिना नहीं समझा जा सकता। न्यूटन ने अंतर समीकरणों को हल करने के बारे में लीबनिज को लिखे एक पत्र में अपनी विधि इस प्रकार बताई है: 5acdae10effh 12i…rrrssssttuu।